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          共50条信息

            • 1．
              在等比数列\(\{a_{n}\}\)中，\(2a_{1}, \dfrac {3}{2}a_{2},a_{3}\)成等差数列，则等比数列\(\{a_{n}\}\)的公比为 ______ ．
              难度：难
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            • 2．
              已知集合\(P=\{a_{1},a_{2},…,a_{n}\}\)，其中\(a_{i}∈R(1\leqslant i\leqslant n,n > 2).M(P)\)表示\(a_{i}+a_{j}(1\leqslant i < j\leqslant n)\)中所有不同值的个数．
              \((\)Ⅰ\()\)若集合\(P=\{1,3,5,7,9\}\)，求\(M(P)\)；
              \((\)Ⅱ\()\)若集合\(P=\{1,4,16,…,4^{n-1}\}\)，求证：\(a_{i}+a_{j}\)的值两两不同，并求\(M(P)\)；
              \((\)Ⅲ\()\)求\(M(P)\)的最小值\(.(\)用含\(n\)的代数式表示\()\)
              难度：难
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            • 3．
              我国古代数学著作\(《\)九章算术\(》\)有如下问题：“今有蒲\((\)水生植物名\()\)生一日，长三尺；莞\((\)植物名，俗称水葱、席子草\()\)生一日，长一尺\(.\)蒲生日自半，莞生日自倍\(.\)问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长\(1\)日，长为\(3\)尺；莞生长\(1\)日，长为\(1\)尺\(.\)蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加\(1\)倍\(.\)若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为 ______ 日\(.(\)结果保留一位小数，参考数据：\(\lg 2≈0.30\)，\(\lg 3≈0.48)\)
              难度：难
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            • 4．

              对数列\(\{a_{n}\}\)，如果\(k∈N^{*}\)及\(λ_{1}\)，\(λ_{2}\)，\(…\)，\(λ_{k}∈R\)，使\(a_{n+k}=λ_{1}a_{n+k-1}+λ_{2}a_{n+k-2}+…+λ_{k}a_{n}\)成立，其中\(n∈N^{*}\)，则称\(\{a_{n}\}\)为“\(k\)阶递归数列”\(.\)给出下列结论：

              \(①\)若\(\{a_{n}\}\)是等比数列，则\(\{a_{n}\}\)为“\(1\)阶递归数列”；

              \(②\)若\(\{a_{n}\}\)是等差数列，则\(\{a_{n}\}\)为“\(2\)阶递归数列”；

              \(③\)若\(\{a_{n}\}\)的通项公式为\(a_{n}=n^{2}\)，则\(\{a_{n}\}\)为“\(3\)阶递归数列”．

              其中正确的结论的个数是

              A．\(0\)
              B．\(1\)
              C．\(2\)
              D．\(3\)
              难度：难
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            • 5．

              已知数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，且\({{a}_{n}}-2{{S}_{n}}=1\)．

              \((1)\)求数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项公式；

              \((2)\)设\(0 < t < s\)，\({{T}_{n}}\)为数列\(\left\{ n{{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和，问是否存在实数\(\lambda \)使得\(\lambda {{a}_{n}}+\dfrac{s}{{{T}_{n}}} < 3t\)对任意\(n\in {{\mathbf{N}}^{*}}\)恒成立，若不存在，请说明理由；若存在，请求出实数\(\lambda \)的取值范围．

              难度：难
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            • 6． 已知单调递增的等比数列\(\{ \)\(a_{n}\)\(\}\)中， \(a\)\({\,\!}_{2}+\) \(a\)\({\,\!}_{3}+\) \(a\)\({\,\!}_{4}=28\)，且 \(a\)\({\,\!}_{3}+2\)是 \(a\)\({\,\!}_{2}\)， \(a\)\({\,\!}_{4}\)的等差中项，
              \((1)\)求 \(a_{n}\)
              \((2)\)设 \(b_{n}\)\(=\) \(lo\) \(a_{n}\)，\(S\) \({\,\!}_{n}\)\(=\) \(b\)\({\,\!}_{1}+\) \(b\)\({\,\!}_{2}+…+\) \(b_{n}\)，求\(S\) \({\,\!}_{n}\)．
              难度：难
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            • 7．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(A_{n}=n^{2}(n∈N^{*}),b_{n}= \dfrac {a_{n}}{a_{n+1}}+ \dfrac {a_{n+1}}{a_{n}}(n∈N^{*})\)，数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(B_{n}\)．
              \((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((2)\)设\(c_{n}= \dfrac {a_{n}}{2^{n}}(n∈N^{*})\)，求数列\(\{c_{n}\}\)的前\(n\)项和\(C_{n}\)；
              \((3)\)证明：\(2n < B_{n} < 2n+2(n∈N^{*})\)．
              难度：难
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            • 8．
              已知等比数列\(\{a_{n}\}\)的公比\(q > 1\)，\(a_{1}=2\)，且\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(a_{3}-8\)成等差数列，数列\(\{a_{n}b_{n}\}\)的前\(n\)项和为 ．

              \((1)\)分别求出数列\(\{a_{n}\}\)和\(\{b_{n}\}\)的通项公式；

              \((2)\)设数列 的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，已知 ，\(S_{n}\leqslant m\)恒成立，求实数\(m\)的最小值．

              难度：难
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            • 9．
              已知等比数列\(\{an\}\)的公比\(q > 1\)，\(a_{1}=2\)，且\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(a_{3}-8\)成等差数列，数列\(\{a_{n}b_{n}\}\)的前\(n\)项和为 ．

              \((1)\)分别求出数列\(\{a_{n}\}\)和\(\{b_{n}\}\)的通项公式；

              \((2)\)设数列 的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，已知 ，\(S_{n}\leqslant m\)恒成立，求实数\(m\)的最小值．

              难度：难
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            • 10．
              已知等差数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且\(a_{2}+a_{4}=6\)，\(a_{6}=S_{3}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((\)Ⅱ\()\)若\(k∈N^{*}\)，且\(a_{k}\)，\(a_{3k}\)，\(S_{2k}\)成等比数列，求\(k\)的值．
              难度：难
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