知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=3\)，\(a_{n+1}=2a_{n}+1\)，则数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式\(a_{n}=\) ______ ．

难度：难

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2．

数列\({{A}_{n}}\)：\({{a}_{1}},\,\ {{a}_{2}},\,\ \cdots ,\,\ {{a}_{n}}\,(n\geqslant 4)\)满足：\({{a}_{1}}=1\)，\({{a}_{n}}=m\)，\({{a}_{k+1}}-{{a}_{k}}=0\)或\(1(\,k=1,\,\ 2,\,\ \cdots ,\,\ n-1\,)\)．对任意\(i,j\)，都存在\(s,t\)，使得\({{a}_{i}}+{{a}_{j}}={{a}_{s}}+{{a}_{t}}\)，其中\(i,j,s,t\in \{1,2,\cdots ,n\}\)且两两不相等．

\((\)Ⅰ\()\)若\(m=2\)，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号；

\(①1,1,1,2,2,2\)； \(②1,1,1,1,2,2,2,2\)； \(③1,1,1,1,1,2,2,2,2\)

\((\)Ⅱ\()\)记\(S={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots +{{a}_{n}}.\)若\(m=3\)，证明：\(S\geqslant 20\)；

\((\)Ⅲ\()\)若\(m=2018\)，求\(n\)的最小值．

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3．数列\( \dfrac {2}{3}\)，\( \dfrac {4}{5}\)，\( \dfrac {8}{7}\)，\( \dfrac {16}{9}\)，\(…\)的一个通项公式是 ______ ．

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4．设数列 \(\{a_{n}\}\) 的前\(n\)项和为\(S_{n}(n∈N^{*})\)，关于数列 \(\{a_{n}\}\) 有下列四个命题：
\(①\)若\(\{a_{n}\}\)既是等差数列又是等比数列，则 \(a_{n}=a_{n+1}(n∈N*)\)；
\(②\)若 \(S_{n}=an^{2}+bn(a,b∈R)\)，则\(\{a_{n}\}\)是等差数列；
\(③\)若 \(S_{n}=1-(-1)^{n}\)，则 \(\{a_{n}\}\)是等比数列；
\(④\)若 \(S_{1}=1\)，\(S_{2}=2\)，且 \(S_{n+1}-3S_{n}+2S_{n-1}=0(n\geqslant 2)\)，则数列\(\{a_{n}\}\)是等比数列．
这些命题中，真命题的序号是 ______ ．

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5．

已知\(S_{n}\)为等差数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和，且\({{a}_{2}}=2,{{S}_{9}}=45.\)记\(b_{n}=[\lg a_{n}]\)，其中\([x]\)表示不超过\(x\)的最大整数，如\(\left[ 0.1 \right]=0,\left[ \lg 11 \right]=1\)\(.\)则数列\(\{b_{n}\}\)的前\(1 001\)项和为___________\(.\)

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6．
观察下列等式：

   \(1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\)，

   \(1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}\)，

   \(1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}\)，

    \(……\)，

    据此规律，第\(n\)个等式可为____________________．

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7．

已知数列\(\{a_{n}\}\)是递增数列，且\({{a}_{n}}=\begin{cases} & (\lambda -1)n+5,n\leqslant 4 \\ & {{(3-\lambda )}^{n-4}}+5,n > 4 \end{cases}(n∈N^{*})\)，则\(λ\)的取值范围为

A．\((1,2)\)

B．\((1,\dfrac{5}{4}]\)

C．\((1,\dfrac{5}{4})\)

D．\((1,\dfrac{7}{5})\)

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8．
\(1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\)；\(1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}\)；\(1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}\)；\(\cdots \quad \quad \cdots \)据此规律，第\(n\)个等式可为：_________________________________．

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9．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数\(.\)比如：

他们研究过图\(1\)中的\(1\)，\(3\)，\(6\)，\(10\)，\(…\)，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图\(2\)中的\(1\)，\(4\)，\(9\)，\(16\)，\(…\)这样的数为正方形数\(.\)下列数中既是三角形数又是正方形数的是\((\) \()\)

A．\(289\)

B．\(1 024\)

C．\(1 225\)

D．\(1 378\)

难度：难

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10．

数列\(1\dfrac{1}{2},3\dfrac{1}{4},5\dfrac{1}{8},7\dfrac{1}{16},\cdots \)的前\(n\)项和\({{S}_{n}}\)为

难度：难

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