\((1)\)已知向量\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\)满足\(\overrightarrow{a}=(1,\sqrt{3})\)，\(|\overrightarrow{b}|=1\)，且\(\overrightarrow{a}+\lambda \overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}(λ > 0)\)，则\(λ=\)________．

\((2)\)已知\(a > 0\)，\(b > 0\)，且\(\sqrt{3}\)为\(3^{a}\)以与\(3^{b}\)的等比中项，则\(\dfrac{ab}{4a+9b}\)的最大值为________．

\((3)\)已知四棱锥\(P-ABCD\)的底面为矩形，平面\(PBC⊥\)平面\(ABCL\)，\(PE\)垂直线段\(BC\)于点\(E\)，\(EC=2\)，\(AB=6\)，\(BC=8\)，\(PE=4\)，则四棱锥\(P-ABCD\)外接球的表面积是________．

\((4)\)已知平面直角坐标系中有两定点\(F_{1}(0,-2)\)，\(F_{2}(0,2)\)，平面中有一动点\(M\)，该点使得\(\triangle MF_{1}F_{2}\)满足条件\(\sin \angle M{{F}_{1}}{{F}_{2}}=\sqrt{3}\sin \angle M{{F}_{2}}{{F}_{1}}\)，则\(\overrightarrow{M{{F}_{1}}}\cdot \overrightarrow{M{{F}_{2}}}\)的取值范围是________．

已知\(\Delta ABC\)是边长为\(2\)的等边三角形，\(P\)为平面\(ABC\)内一点，则\((\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{AB})\cdot (\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC})\)的最小值是\((\)   \()\)

已知\(\overrightarrow{a}=(\sin x,-\dfrac{1}{2})\)，\(\overrightarrow{b}=(\sqrt{3}\cos x+\sin x,1)\)，函数\(f(x)=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\)，\(\triangle ABC\)的内角\(A\)，\(B\)，\(C\)所对的边长分别为\(a\)，\(b\)，\(c\)．

\((1)\)若\(f(\dfrac{B+C}{2})=1\)，\(a=\sqrt{3}\)，\(b=1\)，求\(\triangle ABC\)的面积\(S\)；

\((2)\)若\(0 < \alpha < \dfrac{\pi }{4}\)，\(f(a)=\dfrac{3}{5}\)，求\(\cos 2α\)的值．

过椭圆\(C\)的右焦点\(F( \sqrt{2},0) \)且经过短轴端点的直线的倾斜角为\( \dfrac{π}{4} \)．

\((1)\)求椭圆\(C\)的方程；

\((2)\)设\(O\)为坐标原点，若点\(A\)在直线\(y=2x\)上，点\(B\)在椭圆\(C\)上，且\(OA⊥OB\)，求线段\(AB\)长度的最小值．

\(.\)已知向量\(\overrightarrow{m}=(\cos \alpha ,1-\sin \alpha ),\overrightarrow{n}=(-\cos \alpha ,\sin \alpha )(\alpha \in R)\)

\((1)\)若\(\overrightarrow{m}\bot \overrightarrow{n}\)，求角\(\alpha \)的值； 

\((2)\)若\(|\overrightarrow{m}-\overrightarrow{n}|=\sqrt{3}\)，求\(\cos 2\alpha \)的值．