知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知椭圆$C:\dfrac{{{y}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{x}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\left( a > b > 0 \right)$的离心率$e=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，两焦点分别为${{F}_{1}},{{F}_{2}}$，右顶点为$M$，$\overrightarrow{M{{F}_{1}}}\cdot \overrightarrow{M{{F}_{2}}}=-2$．

$($Ⅰ$)$求椭圆$C$的标准方程；

$($Ⅱ$)$设过定点$(-2,0)$的直线$l$与双曲线$\dfrac{{{x}^{2}}}{4}-{{y}^{2}}=1$的左支有两个交点，与椭圆$C$交于$A,B$两点，与圆$N:{{x}^{2}}+{{(y-3)}^{2}}=4$交于$P,Q$两点，若$\Delta MAB$的面积为$\dfrac{6}{5}$，$\overrightarrow{AB}=\lambda \overrightarrow{PQ}$，求正数$\lambda $的值．

难度：难

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2．

已知$ \overrightarrow{AB}⊥ \overrightarrow{AC},\left| \overrightarrow{AB}\right|= \dfrac{1}{t},\left| \overrightarrow{AC}\right|=t $，若$P $点是$∆ABC $所在平面内一点，且$ \overrightarrow{AP}= \dfrac{ \overrightarrow{AB}}{\left| \overrightarrow{AB}\right|}+ \dfrac{4 \overrightarrow{AC}}{\left| \overrightarrow{AC}\right|} $ ，则$ \overrightarrow{PB}· \overrightarrow{PC} $ 的最大值等于$($ $)$

A．$13$

B．$15$

C．$19$

D．$21$

难度：难

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3．已知平面内有A（-2，1），B（1，4），使 $%20%5Coverrightarrow%20%7BAC%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ $%20%5Coverrightarrow%20%7BCB%7D$ 成立的点C坐标为 ______ ．

难度：难

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4．

设向量$ \overrightarrow{AB}=(1,2)$，$ \overrightarrow{BC}=(-2,t)$，且$ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=2$，则实数$t$的值为$($　　$)$

A．$ \dfrac {3}{2}$

B．$- \dfrac {3}{2}$

C．$ \dfrac {1}{2}$

D．$- \dfrac {1}{2}$

难度：难

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5．
已知角$A$，$B$，$C$为$\triangle ABC$的三个内角，其对边分别为$a$，$b$，$c$，若$ \overrightarrow{m}=(-\cos \dfrac {A}{2},\sin \dfrac {A}{2})$，$ \overrightarrow{n}=(\cos \dfrac {A}{2},\sin \dfrac {A}{2})$，$a=2 \sqrt {3}$，且$ \overrightarrow{m}⋅ \overrightarrow{n}= \dfrac {1}{2}$．
$(1)$若$\triangle ABC$的面积$S= \sqrt {3}$，求$b+c$的值．
$(2)$求$b+c$的取值范围．

难度：难

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6．
平面内给定两个向量$ \overrightarrow{a}=(3,1), \overrightarrow{b}=(-1,2)$
$(1)$求$|3 \overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}|$；
$(2)$若$( \overrightarrow{a}+k \overrightarrow{b})/\!/(2 \overrightarrow{a}- \overrightarrow{b})$，求实数$k$的值．

难度：难

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7．
已知向量$\overrightarrow{m}=(\sqrt{3}\sin 2x-1,\cos x),\overrightarrow{n}=(1,2\cos x)$，设函数$f(x)=\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{n}$。

$(1)$求$f(x) $的最小正周期与单调递减区间

$(2)$在$\triangle ABC $中，$a,b,c $分别是角$A,B,C $的对边，若$f(A)=1,b=1,\Delta ABC$的面积为$ \dfrac{ \sqrt{3}}{2} $，求$a $的值。

难度：难

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8．

已知$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$是单位向量，$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0$，若向量$\overrightarrow{c}$满足$|\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=1$，则$|\overrightarrow{c}|$的取值范围是．

难度：难

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9．

在$\Delta ABC$中，设角$A,B,C$的对边分别为$a,b,c$，向量$\overset{\to }{{m}}\,=\left( \cos A,\sin A \right)$，$\overset{\to }{{n}}\,=\left( \sqrt{2}-\sin A,\cos A \right)_{,若}\overset{\to }{{m\cdot }}\,\overset{\to }{{n}}\,=1_{,}$

$(1)$求角$A$的大小；

$(2)$若$b=4\sqrt{2},$且$c=\sqrt{2}a$，求$\Delta ABC$的面积．

难度：难

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10．
已知$A$，$B$，$C$是圆$x^{2}+y^{2}=1$上互不相同的三个点，且满足$| \overset{→}{AB} |=| \overset{→}{AC} |$，则$ \overset{→}{AB}· \overset{→}{AC} $的取值范围是_____．

难度：难

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