在\(\Delta ABC\)中，\(E\)，\(F\)分别为\(AB,AC\)中点，\(P\)为\(EF\)上任意一点，实数\(x,y\)满足\(\overrightarrow{PA}+x\overrightarrow{PB}+y\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}\)，设\(\Delta ABC,\Delta PCA,\Delta PAB\)的面积分别为\(S\)，\(S_{1}\)，\(S_{2}\)，记\( \dfrac{{S}_{1}}{S}={λ}_{1} \)，\( \dfrac{{S}_{2}}{S}={λ}_{2} \)，则\({λ}_{1},{λ}_{2} \)取得最大值时，\(2x+3y\)的值为 \((\)　　\()\)

如图，在平行四边形\(ABCD\)中，\(E\)为\(DC\)的中点，\(AE\)与\(BD\)交于点\(M\)，\(AB= \sqrt[]{2}\)，\(AD=1\)，且\(\overrightarrow{MA}·\overrightarrow{MB}=- \dfrac{1}{6}\)，则\(\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AD}=\)_______

已知椭圆\({C}_{1}\;:\; \dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+ \dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1\left(a > b > 0\right) \) 经过点\(M\left(1, \dfrac{3}{2}\right) \)，且其右焦点与抛物线\({C}_{2}\;:\;{y}^{2}=4x \)的焦点\(F\)重合，过点\(F\)且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于\(P\)，\(Q\)两点．

\((1)\)求椭圆\({C}_{1} \)的方程；

\((2)\)设\(O\)为坐标原点，线段\(OF\)上是否存在点\(N\left(n,0\right) \)，使得\( \overrightarrow{QP}· \overrightarrow{NP}= \overrightarrow{PQ}· \overrightarrow{NQ} \)？若存在，求出\(n\)的取值范围；若不存在，说明理由；

\((3)\)过点\({P}_{0}\left(4,0\right) \)且不垂直于\(x\)轴的直线与椭圆交于\(A\)，\(B\)两点，点\(B\)关于\(x\)轴的对称点为\(E\)，试证明：直线\(AE\)过定点．

\((\)本小题满分\(12\)分\()\)

平面内给定三个向量\( \overrightarrow{a}=(3,2)\)，\( \overrightarrow{b}=(-1,2)\)，\( \overrightarrow{c}=(4,1)\)
\((1)\)求\(3 \overrightarrow{a}+ \overrightarrow{b}-2 \overrightarrow{c}\)；
\((2)\)求满足\( \overrightarrow{a}=m \overrightarrow{b}+n \overrightarrow{c}\)的实数\(m\)、\(n\)．

已知\(O\)是\(\triangle ABC\)的外心，若\(AB=AC\)，\(∠CAB=30^{\circ}\)，且\( \overrightarrow{CO}={λ}_{1} \overrightarrow{CA}+{λ}_{2} \overrightarrow{CB} \)，则\(λ_{1}λ_{2}=\)________．

已知点\(G\)是边长为\(2\)的等边\(\triangle ABC\)的重心，点\(D\)是\(BC\)的中点，则\(\overrightarrow{CG}\cdot \overrightarrow{AD}=\) ________．