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          共50条信息

            • 1．

              已知椭圆\(C:\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > b > 0)\)，椭圆\(e=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)，长轴长为\(2\sqrt{2}\)．

              \((1)\)求椭圆\(C\)方程；

              \((2)\)设\(O\)为坐标原点，点\(P\)在直线\(y=\sqrt{2}\)上，点\(Q\)在椭圆\(C\)上，且\(\angle POQ=90{}^\circ \)，求\(PQ\)长度的最小值．

              难度：难
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            • 2．

              设向量\(\overrightarrow{a}=\left( \cos \left( 2x-\dfrac{\pi }{3} \right),2 \right),\overrightarrow{b}=\left( 1,{{\cos }^{2}}x \right)\)，其中\(x\in R\)，且函数\(f\left( x \right)=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\)．

              \((1)\)求\(f\left( x \right)\)的最小正周期；

              \((2)\)设函数\(g\left( x \right)=2f\left( x-\dfrac{\pi }{4} \right)+\sqrt{6}-2\)，求\(f\left( x \right)\)在\(\left[ -\dfrac{\pi }{3},\dfrac{\pi }{4} \right]\)上的零点．

              难度：难
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            • 3．

              椭圆\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > b > 0)\)的左右焦点分别为\({{F}_{1}}\)，\({{F}_{2}}\)，且离心率为\(\dfrac{1}{2}\)，点\(P\)为椭圆上一动点，\(\Delta {{F}_{1}}P{{F}_{2}}\)内切圆面积的最大值为\(\dfrac{\pi }{3}\)．


              \((1)\)求椭圆的方程\(;\)

              \((2)\)椭圆的左顶点为\({{A}_{1}}\)，过右焦点\({{F}_{2}}\)的直线\(l\)与椭圆交于\(A\)，\(B\)两点，连结\({{A}_{1}}A\)，\({{A}_{1}}B\)并延长交直线\(x=4\)分别于\(P\)，\(Q\)两点，以\(PQ\)为直径的圆是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．

              难度：难
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            • 4．

              已知向量\(a=(- \dfrac{1}{2}, \dfrac{ \sqrt{3}}{2})\)，\(\overrightarrow{OA}=a-b\)，\(\overrightarrow{OB}=a+b\)，若\(\triangle OAB\)是以\(O\)为直角顶点的等腰直角三角形，则\(\triangle OAB\)的面积为________．

              难度：难
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            • 5． 已知向量\( \overrightarrow{a}\)与向量\( \overrightarrow{b}\)的夹角为\(120^{\circ}\)，若\(( \overrightarrow{a}+ \overrightarrow{b})⊥( \overrightarrow{a}-2 \overrightarrow{b})\)且\(| \overrightarrow{a}|=2\)，则\( \overrightarrow{b}\)在\( \overrightarrow{a}\)上的投影为 ______ ．
              难度：难
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            • 6．

              点\(O\)是三角形\(ABC\)所在平面内的一点，满足 \( \overset{→}{OA}· \overset{→}{OB}= \overset{→}{OB}· \overset{→}{OC}= \overset{→}{OC}· \overset{→}{OA} \) ，则点\(O\)是\(\triangle ABC\)的\((\)  \()\)

              A．外心  
              B．垂心  
              C．重心  
              D．内心
              难度：难
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            • 7．

              \((1)\)已知\(a\)与\(b\)为两个不共线的单位向量，\(k\)为实数，若向量\(a+b\)与向量\(ka-b\)垂直，则\(k=\)_____________．

              \((2)\)若变量\(x\)，\(y\)满足约束条件\(\begin{cases} & 3\leqslant 2x+y\leqslant 9 \\ & 6\leqslant x-y\leqslant 9 \\ \end{cases}\)，则\(z=x+2y\)的最小值是_________．

              \((3)\Delta ABC\)中，\(B=120{}^\circ ,AC=7,AB=5\)，则\(\Delta ABC\)的面积为_________．

              \((4)\)已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上\(.\)若圆锥底面面积是这个球面面积的\(\dfrac{3}{16}\)，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________．

              难度：难
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            • 8．

              如图，正方体\(ABCD\)\(-\)\(A\)\({\,\!}_{1}\)\(B\)\({\,\!}_{1}\)\(C\)\({\,\!}_{1}\)\(D\)\({\,\!}_{1}\)中，\(E\)，\(F\)分别在\(A\)\({\,\!}_{1}\)\(D\)，\(AC\)上，且\(A\)\({\,\!}_{1}\)\(E\)\(= \dfrac{2}{3}\) \(A\)\({\,\!}_{1}\)\(D\)，\(AF\)\(= \dfrac{1}{3}\) \(AC\)，则

              A．\(EF\)至多与 \(A\)\({\,\!}_{1}\) \(D\)， \(AC\)之一垂直    
              B．\(EF\)\(⊥\) \(A\)\({\,\!}_{1}\) \(D\)， \(EF\)\(⊥\) \(AC\)
              C．\(EF\)与 \(BD\)\({\,\!}_{1}\)相交              
              D．\(EF\)与 \(BD\)\({\,\!}_{1}\)异面
              难度：难
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            • 9．
              已知中心在原点，焦点在 \(X\)轴的椭圆 \(C\)，长轴长为 \(4\)，过焦点垂直于 \(X\)轴的直线被该椭圆截得的弦长为\(3\)．

              \((1)\) 求椭圆 \(C\)的方程；

              \((2)\)过点\(P(0,2)\)的直线\(l\)与椭圆\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点，若\(OA⊥OB\)，求直线\(l\)的方程。

              难度：难
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            • 10．

              已知圆\(C_{1}\)：\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+6x=0\)关于直线\(l_{1}\)：\(y=2x+1\)对称的圆为\(C\)

              \((1)\)求圆\(C\)的方程；

              \((2)\)过点\((-1,0)\)作直线与圆\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点，\(O\)是坐标原点，是否存在这样的直线，使得在平行四边形\(OASB\)中\(| \overrightarrow{OS}=| \overrightarrow{OA}- \overrightarrow{OB}| \)？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由．

              难度：难
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