知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为\(40\)元，出厂单价定为\(60\)元\(.\)该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过\(100\)件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低\(0.02\)元\(.\)根据市场调查，销售商一次订购量不会超过\(500\)件．
\((I)\)设一次订购量为\(x\)件，服装的实际出厂单价为\(P\)元，写出函数\(P=f(x)\)的表达式；
\((\)Ⅱ\()\)当销售商一次订购了\(450\)件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？
\((\)服装厂售出一件服装的利润\(=\)实际出厂单价\(-\)成本\()\)

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2．
对于定义域为\(D\)的函数\(y=f(x)\)，若同时满足下列条件：\(①\)\(f(x)\)在\(D\)内单调递增或单调递减；\(②\)存在区间\([a,b]\subseteq D\)，使\(f(x)\)在\([a,b]\)上的值域为\([a,b]\)；那么把\(y=f(x)\)\((\)\(x\in D\)\()\)叫闭函数，则条件\(②\)中的区间\([a,b]\)为\(f(x)\)的一个“好区间”．

\((1)\)求闭函数\(y=-{{x}^{3}}\)的“好区间”；

\((2)\)若\([1,16]\)为闭函数\(f(x)=m\sqrt{x}+n{{\log }_{2}}x\)的“好区间”，求\(m\)、\(n\)的值．

难度：难

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3．
已知\(x=1\)是函数\(f(x)=m{{x}^{3}}-3(m+1){{x}^{2}}+nx+1\) \((m < 0)\)的一个极值点，

\((1)\)求\(m\)与\(n\)的关系式；

\((2)\)求\(f(x)\)的单调区间；

\((3)\) 当\(x\in [-1,1]\)时，函数\(y=f(x)\)的图象上任意一点的切线斜率恒大于\(3m\)，求\(m\)的取值范围。

难度：难

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4．

某网店经营的一种商品进价是每件\(10\)元，根据一周的销售数据得出周销量\(P(\)件\()\)与单价\(x(\)元\()\)之间的关系如下图折线所示，该网店与这种商品有关的周开支均为\(25\)元．

\((\)Ⅰ\()\)根据周销量图写出周销量\(P(\)件\()\)与单价\(x(\)元\()\)之间的函数关系式；

\((\)Ⅱ\()\)写出周利润\(y(\)元\()\)与单价\(x(\)元\()\)之间的函数关系式；当该商品的销售价格为多少元时，周利润最大\(?\)并求出最大周利润．

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5．定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=-f（x），且当x∈[-1，1]时，f（x）=x³．
（1）求f（x）在[1，5]上的表达式；
（2）若A={x|f（x）＞a，x∈R}，且A≠∅，求实数a的取值范围．

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6．
已知\(x=1\)是函数\(f(x)=mx^{3}-3(m+1)x^{2}+nx+1\)的一个极值点，其中\(m\)，\(n∈R\)，\(m < 0\)．
\((\)Ⅰ\()\)求\(m\)与\(n\)的关系表达式；
\((\)Ⅱ\()\)求\(f(x)\)的单调区间；
\((\)Ⅲ\()\)当\(x∈[-1,1]\)时，函数\(y=f(x)\)的图象上任意一点的切线斜率恒大于\(3m\)，求\(m\)的取值范围．

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7．
如图所示，已知边长为\(8\)米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中\(AE=4\)米，\(CD=6\)米\(.\)为合理利用这块钢板，在五边形\(ABCDE\)内截取一个矩形\(BNPM\)，使点\(P\)在边\(DE\)上．
\((1)\)设\(MP=x\)米，\(PN=y\)米，将\(y\)表示成\(x\)的函数，求该函数的解析式及定义域；

\((2)\)求矩形\(BNPM\)面积的最大值．

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8．某校为解决教师后顾之忧，拟在一块长\(AM=30\)米，宽\(AN=20\)米的矩形地块\(AMPN\)上施工，规划建设占地如图中矩形\(ABCD\)的教师公寓，要求顶点\(C\)在地块的对角线\(MN\)上，\(B\)，\(D\)分别在边\(AM\)，\(AN\)上，假设\(AB\)长度为\(x\)米

\((\)Ⅰ\()\)要使矩形教师公寓\(ABCD\)的面积不小于\(144\)平方米，\(AB\)的长度应在什么范围？
\((\)Ⅱ\()\)长度\(AB\)和宽度\(AD\)分别为多少米时矩形教师公寓\(ABCD\)的面积最大？最大值是多少平方米？

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9．如图，现要在一块半径为\(1m\)、圆心角为\(60^{\circ}\)的扇形纸板\(AOB\)上剪出一个平行四边形\(MNPQ\)，使点\(P\)在\( \overparen {AB}\)上，点\(Q\)在\(OA\)上，点\(M\)、\(N\)在\(OB\)上，设\(∠BOP=θ\)，平行四边形\(MNPQ\)的面积为\(S\)．
\((1)\)求\(S\)关于\(θ\)的函数关系式；
\((2)\)求\(S\)的最大值及相应的\(θ\)的值．

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10．
设函数\(f(x)=ax^{2}+(2b+1)x-a-2\)，\(a\)，\(b∈ R\) ．

\((1)\)若\(a=0\)，当\(x∈\left[ \dfrac{1}{2},1\right] \)上恒有\(f(x)\geqslant 0 \)，求\(b\)的取值范围；

\((2)\)若\(a\neq 0 \)且\(b=-1\)，试在直角坐标平面内找出横坐标不同的两点，使函数\(y=f(x)\)的图像永远不经过这两点；

\((3)\)若\(a\neq 0 \)，函数\(y=f(x)\)在区间\([3,4]\)上至少有一个零点，求\(a^{2}+b^{2}\)的最小值．

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