知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．

已知\(a\neq 0\)，证明关于\(x\)的方程\(ax=b\)有且只有一个根．

难度：难

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2． \((1)\)已知\(a > 0\)，求证：\(\sqrt{a+5}- \sqrt{a+3} > \sqrt{a+6}- \sqrt{a+4} \)
\((2)\)证明：已知\(x∈R\)，\(a=x^{2}-x+1\)，\(b=4-x\)，\(c=x^{2}-2x.\)试证明\(a\)，\(b\)，\(c\)至少有一个不小于\(1\)．

难度：难

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3．
在用反证法证明“\(∀\)实数\(x\)，\(x^{2}+x+1 > 0\)”时，其假设是 ______ ．

难度：难

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4．
\((1)\)当\(x > 1\)时，求证：\(2{{x}^{2}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}} > 2x+\dfrac{1}{x} > 2\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\)；

\((2)\)若\(a < e\)，用反证法证明：函数\(f(x)=xe^{x}-ax^{2}(x > 0)\)无零点．

难度：难

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5．用反证法证明命题“若\(x^{2}-(a+b)x+ab\neq 0\)，则\(x\neq a\)且\(x\neq b\)”时，应假设为　　　　．

难度：难

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6．
若\(x > 0\)，\(y > 0\)，且\(x+y > 2\)，
\((1) \begin{cases} \overset{x=1}{y=2}\end{cases}\)，\( \begin{cases} \overset{x= \dfrac {1}{2}}{y=3}\end{cases}\)，\( \begin{cases} \overset{x= \sqrt {3}}{y= \sqrt {2}}\end{cases}\)时，分别比较\( \dfrac {1+y}{x}\)和\( \dfrac {1+x}{y}\)与\(2\)的大小关系；
\((2)\)依据\((1)\)得出的结论，归纳提出一个满足条件\(x\)、\(y\)都成立的命题并证明．

难度：难

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7．证明：\(1\)，\( \sqrt {3}\)，\(2\)不能为同一等差数列的三项．

难度：难

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8．
某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数\(f(x)\)在\([0,1]\)上有意义，且\(f(0)=f(1)\)，如果对于不同的\(x_{1}\)，\(x_{2}∈[0,1]\)，都有\(|f(x_{1})-f(x_{2})| < |x_{1}-x_{2}|\)，求证：\(|f({{x}_{1}})-f({{x}_{2}})| < \dfrac{1}{2}.\)那么他的反设应该是________．

难度：难

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9． \((1)\)求以椭圆\( \dfrac {x^{2}}{5} \dfrac {y^{2}}{8}=1\)的焦点为顶点，求以椭圆顶点为焦点的双曲线方程．
\((2)\)已知\(x\)，\(y∈R\)，且\(x y > 2\)，求证：\( \dfrac {1+x}{y}\)与\( \dfrac {1+y}{x}\)中至少有一个小于\(2\)．

难度：难

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10．
．已知空间四边形\(ABCD\)中，\(E\)，\(H\)分别是边\(AB\)，\(AD\)的中点，\(F\)，\(G\)分别是边\(BC\)，\(CD\)的中点．

\((1)\)求证：\(BC\)与\(AD\)是异面直线．

\((2)\)求证：\(EG\)与\(FH\)相交．

难度：难

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