知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．意大利数学家列昂那多•斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…，即F（1）=F（2）=1，F（n）=F（n-1）+F（n-2）（n≥3，n∈N^*），此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被3整除后的余数构成一个新数列{b_n}，b₂₀₁₇= ______ ．

难度：难

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2．代数式 $1%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B1%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B1%2B%5Ccdots%20%7D%7D$ 中省略号“…”代表以此方式无限重复，因原式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式=t，则1+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bt%7D$ =t，则t²-t-1=0，取正值得t= $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B5%7D%2B1%7D%7B2%7D$ ，用类似方法可得 $%20%5Csqrt%20%7B6%2B%20%5Csqrt%20%7B6%2B%20%5Csqrt%20%7B6%2B%E2%80%A6%7D%7D%7D$ = ______ ．

难度：难

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3．甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第一名到第五名的名次．甲乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你没有得到冠军”；对乙说“你当然不会是最差的”，从上述回答分析，5人的名次排列可能有 ______ 种不同情况．

难度：难

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4．解不等式（ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ）^x-x+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ＞0时，可构造函数f（x）=（ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ）^x-x，由f（x）在x∈R是减函数，及f（x）＞f（1），可得x＜1．用类似的方法可求得不等式arcsinx²+arcsinx+x⁶+x³＞0的解集为（　　）

A．（0，1]

B．（-1，1）

C．（-1，1]

D．（-1，0）

难度：难

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5．（理）如图，直角三角形纸片ABC中，AB=3，AC=4，D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交与点P₁；设P₁D的中点为D₁，第2次将纸片折叠，使点A与点D₁重合，折痕与AD交于点P₂；设P₂D₁的中点为D₂，第3次将纸片折叠，使点A与点D₂重合，折痕与AD交于点P₃；…；设P_n-1D_n-2的中点为D_n-1，第n次将纸片折叠，使点A与点D_n-1重合，折痕与AD交于点P_n（n＞2），则AP₆的长为（　　）

A． $%20%5Cfrac%20%7B5%C3%973%5E%7B5%7D%7D%7B2%5E%7B12%7D%7D$

B． $%20%5Cfrac%20%7B3%5E%7B6%7D%7D%7B5%C3%972%5E%7B9%7D%7D$

C． $%20%5Cfrac%20%7B5%C3%973%5E%7B6%7D%7D%7B2%5E%7B14%7D%7D$

D． $%20%5Cfrac%20%7B3%5E%7B7%7D%7D%7B5%C3%972%5E%7B11%7D%7D$

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6．我们把形如 $y%3Df%28x%20%29_%7B%20%C2%A0%20%7D%5E%7B%20%CF%86%28x%29%20%7D$ 的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对法数：在函数解析式两边求对数得 $lny%3Dlnf%28x%20%29_%7B%20%C2%A0%20%7D%5E%7B%20%CF%86%28x%29%20%7D%3D%CF%86%28x%29lnf%28x%29$ ，两边对x求导数，得 $%20%5Cfrac%20%7By%E2%80%B2%7D%7By%7D%3D%CF%86%E2%80%B2%28x%29lnf%28x%29%2B%CF%86%28x%29%20%5Cfrac%20%7Bf%E2%80%B2%28x%29%7D%7Bf%28x%29%7D$ ，于是 $y%E2%80%B2%3Df%28x%20%29_%7B%20%C2%A0%20%7D%5E%7B%20%CF%86%28x%29%20%7D%5B%CF%86%E2%80%B2%28x%29lnf%28x%29%2B%CF%86%28x%29%20%5Cfrac%20%7Bf%E2%80%B2%28x%29%7D%7Bf%28x%29%7D%5D$ ，运用此方法可以求得函数 $y%3D%20x_%7B%20%C2%A0%20%7D%5E%7B%20x%20%7D%28x%EF%BC%9E0%29$ 在（1，1）处的切线方程是 ______ ．

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7．观察：
（1）tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°=1；
（2）tan5°tan10°+tan10°tan75°+tan75°tan5°=1．
由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论．

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8．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半（即 $%20%5Cfrac%20%7Bn%7D%7B2%7D$ ）；如果n是奇数，则将它乘3加1（即3n+1），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n（首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现），则n的所有不同值的个数为（　　）

A．4

B．6

C．32

D．128

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9．先画一个边长为2的正方形，再将这个正方形的各边中点相连得到第2个正方形，依此类推，则第10个正方形的面积为 ______ ．（用最简分数表示）

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10．观察下列等式：
$%5Cleft.%5Cbegin%7Bmatrix%7D%281%2B1%29%3D2%C3%971%20%5C%5C%20%282%2B1%29%282%2B2%29%3D2%5E%7B2%7D%C3%971%C3%973%20%5C%5C%20%283%2B1%29%283%2B2%29%283%2B3%29%3D2%5E%7B3%7D%C3%971%C3%973%C3%975%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$
…
照此规律，第n个等式可为 ______ ．

难度：难

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