\((1)\)在\(\triangle ABC\)中，角\(A\)，\(B\)，\(C\)所对的边分别为\(a\)，\(b\)，\(c.\)若\(A=\dfrac{\pi }{3}\)，\(\cos B=\dfrac{2\sqrt{7}}{7}\)，\(b=2\)，则\(a=\)________．

\((2)\)如图所示，已知矩形\(ABCD\)中，\(AB=3\)，\(BC=a\)，若\(PA⊥\)平面\(ABCD\)，在\(BC\)边上取点\(E\)，使\(PE⊥DE\)，则满足条件的\(E\)点有两个时，\(a\)的取值范围是________．

\((3)\)过点\((6,8)\)的直线与坐标轴正半轴围成三角形面积的最小值为________．

\((4)\)若实数\(a\)，\(b\)，\(c\)成等比数列，且\(a+b+c=1\)，则\(a+c\)的取值范围是________．

在\(\triangle ABC\)中，角\(A\)，\(B\)，\(C\)所对的边分别为\(a\)，\(b\)，\(c\)，且\(\cos A=-\dfrac{5}{13}\)，\(\cos B=\dfrac{3}{5}\)．

\((\)Ⅰ\()\)求\(\sin C\)的值；

\((\)Ⅱ\()\)若\(\triangle ABC\)的面积为\(\dfrac{8}{3}\)，试求出边\(a\)的大小．

在\(\triangle ABC\)中，\(a\)，\(b\)，\(c\)分别是角\(A\)，\(B\)，\(C\)，的对边，向量\( \overrightarrow{m}=(a,b+c), \overrightarrow{n}=(1,\cos C+ \sqrt{3}\sin C) \)，且\( \overrightarrow{m}/\!/ \overrightarrow{n} \)．

\((1)\)求角\(A\)；

\((2)\)若\(3bc=16-a^{2}\)，求\(\triangle ABC\)面积的最大值．

填空题。

\((1)\)求经过点\((-2,2)\)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为\(1\)的直线\(l\)的方程____________．

\((2)《\)算法通宗\(》\)是我国古代内容丰富的数学名书，书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底，每层灯的数目都是上一层的\(2\)倍，已知这座塔共有\(381\)盏灯，请问塔顶有几盏灯？”答____盏

\((3)\)已知直线\(y=kx-k+1 \)恒过定点\(A\)，若点\(A\)在直线\(mx+ny-1=0(mn > 0) \)上，则\( \dfrac{1}{m}+ \dfrac{1}{n} \)的最小值为       ．

\((4)\)在\(\Delta ABC\)中，\(a,b,c \)是角\(A,B,C \)的对边，则下列结论正确的序号是_______．

\(①\) 若\(a,b,c \)成等差数列，则\({B}=\dfrac{\pi }{3}\)；              

\(②\) 若\(c=4,b=2 \sqrt{3},B= \dfrac{π}{6} \)，则\(\Delta ABC\)有两解；

\(③\) 若\(b=1,ac=2 \sqrt{3},B= \dfrac{π}{6} \)，则\(a+c=2+\sqrt{3}\)；    

\(④\)若\((2c-b)\cos A=a\cos B\)，则\(A=\dfrac{\pi }{6}\)．

在\(\triangle ABC\)中，\(D\)是\(BC\)上的点，且\(AC=CD\)，\(2AC=\sqrt{3}AD\)，\(AB=2AD\)，则\(siaB\)等于

已知\(f\left(x\right)= \overset{→}{a}· \overset{→}{b} \)，其中\( \overset{→}{a}=\left(2\cos x,- \sqrt{3}\sin 2x\right) \)，\( \overset{→}{b}=\left(\cos x,1\right) \)，\(x∈R\)．

\((1)\)求\(f(x)\)的单调递减区间；

\((2)\)在\(\triangle ABC\)中，角\(A\)，\(B\)，\(C\)所对的边分别为\(a\)，\(b\)，\(c\)，\(f(A)=-1\)，\(a= \sqrt{7} \)，且向量\( \overset{→}{m}=\left(3,\sin B\right) \)与\( \overset{→}{n}=(2,\sin C) \)共线，求边长\(b\)和\(c\)的值．