已知双曲线\( \dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}- \dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1\left(a > 0,b > 0\right) \)的左右焦点分别为\(F_{1}\)，\(F_{2}\)，\(P\)为双曲线上一点，且\(|PF_{1}|=2|PF_{2}|\)，若\(\cos \angle {{F}_{1}}P{{F}_{2}}=\dfrac{1}{4}\)，则该双曲线的离心率等于

\(\Delta ABC\)的三个角\(A,B,C\)所对的边分别为\(a,b,c\)，\(1+\dfrac{\tan A}{\tan B}=\dfrac{2c}{\sqrt{3}b}\)．

\((\)Ⅰ\()\)求角\(A\)的大小；

\((\)Ⅱ\()\)若\(\Delta ABC\)为锐角三角形，求函数\(y=2{{\sin }^{2}}B-2\sin B\cos C\)的取值范围．

    \((\)Ⅰ\()\)求\(\sin ∠ABD\)的值；

    \((\)Ⅱ\()\)若\(∠BCD= \dfrac{π}{4} \)，求\(CD\)的长．

在\(\triangle ABC\)中，\(a\)，\(b\)，\(c\)分别是角\(A\)，\(B\)，\(C\)，的对边，向量\( \overrightarrow{m}=(a,b+c), \overrightarrow{n}=(1,\cos C+ \sqrt{3}\sin C) \)，且\( \overrightarrow{m}/\!/ \overrightarrow{n} \)．

\((1)\)求角\(A\)；

\((2)\)若\(3bc=16-a^{2}\)，求\(\triangle ABC\)面积的最大值．

填空题。

\((1)\)求经过点\((-2,2)\)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为\(1\)的直线\(l\)的方程____________．

\((2)《\)算法通宗\(》\)是我国古代内容丰富的数学名书，书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底，每层灯的数目都是上一层的\(2\)倍，已知这座塔共有\(381\)盏灯，请问塔顶有几盏灯？”答____盏

\((3)\)已知直线\(y=kx-k+1 \)恒过定点\(A\)，若点\(A\)在直线\(mx+ny-1=0(mn > 0) \)上，则\( \dfrac{1}{m}+ \dfrac{1}{n} \)的最小值为       ．

\((4)\)在\(\Delta ABC\)中，\(a,b,c \)是角\(A,B,C \)的对边，则下列结论正确的序号是_______．

\(①\) 若\(a,b,c \)成等差数列，则\({B}=\dfrac{\pi }{3}\)；              

\(②\) 若\(c=4,b=2 \sqrt{3},B= \dfrac{π}{6} \)，则\(\Delta ABC\)有两解；

\(③\) 若\(b=1,ac=2 \sqrt{3},B= \dfrac{π}{6} \)，则\(a+c=2+\sqrt{3}\)；    

\(④\)若\((2c-b)\cos A=a\cos B\)，则\(A=\dfrac{\pi }{6}\)．

\((1)\)已知向量\( \overset{→}{a} =(1,\)\(m\)\()\)，\( \overset{→}{b} =(\)\(m\)，\(m\)\(-3)\)，若\( \overset{→}{a}⊥ \overset{→}{b} \)，则\(m\)\(= \)______．

\((2)\)已知\(\sin \)\(( \dfrac{π}{3} \) \(-α)= \dfrac{1}{3} (0 < α < \dfrac{π}{2} \) \()\)，则\(\sin \)\(( \dfrac{π}{6} \) \(+α)= \)______．

\((3)\)已知\(\triangle ABC\)是边长为\(2\)的等边三角形，则\( \overset{→}{AB}· \overset{→}{BC} = \)______．

\((4)\)设\(\triangle ABC\)的内角\(A\)，\(B\)，\(C\)，所对的边分别是\(a\)，\(b\)，\(c\)\(.\)若\(a\)\({\,\!}^{2}+\)\(b\)\({\,\!}^{2}-\)\(c\)\({\,\!}^{2}+\)\(ab\)\(=0\)，则角\(C= \)______．

在\(\triangle ABC\)中，\(D\)是\(BC\)上的点，且\(AC=CD\)，\(2AC=\sqrt{3}AD\)，\(AB=2AD\)，则\(siaB\)等于

已知\(f\left(x\right)= \overset{→}{a}· \overset{→}{b} \)，其中\( \overset{→}{a}=\left(2\cos x,- \sqrt{3}\sin 2x\right) \)，\( \overset{→}{b}=\left(\cos x,1\right) \)，\(x∈R\)．

\((1)\)求\(f(x)\)的单调递减区间；

\((2)\)在\(\triangle ABC\)中，角\(A\)，\(B\)，\(C\)所对的边分别为\(a\)，\(b\)，\(c\)，\(f(A)=-1\)，\(a= \sqrt{7} \)，且向量\( \overset{→}{m}=\left(3,\sin B\right) \)与\( \overset{→}{n}=(2,\sin C) \)共线，求边长\(b\)和\(c\)的值．