知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
某工厂的某种产品成箱包装，每箱\(200\)件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品\(.\)检验时，先从这箱产品中任取\(20\)件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验\(.\)设每件产品为不合格品的概率都为\(p(0 < p < 1)\)，且各件产品是否为不合格品相互独立．
\((1)\)记\(20\)件产品中恰有\(2\)件不合格品的概率为\(f(p)\)，求\(f(p)\)的最大值点\(p_{0}\)．
\((2)\)现对一箱产品检验了\(20\)件，结果恰有\(2\)件不合格品，以\((1)\)中确定的\(p_{0}\)作为\(p\)的值\(.\)已知每件产品的检验费用为\(2\)元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付\(25\)元的赔偿费用．
\((i)\)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为\(X\)，求\(EX\)；
\((ⅱ)\)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

难度：难

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2．
依据某地某条河流\(8\) 月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图\((\)甲\()\)所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图\((\)乙\()\)所示．
试估计该河流在\(8\) 月份水位的中位数；
\((I)\)以此频率作为概率，试估计该河流在\(8\) 月份发生\(1\) 级灾害的概率；
\((\)Ⅱ\()\)该河流域某企业，在\(8\) 月份，若没受\(1\)、\(2\) 级灾害影响，利润为\(500\) 万元；若受\(1\) 级灾害影响，则亏损\(100\) 万元；若受 \(2\) 级灾害影响则亏损\(1000\) 万元\(.\) 现此企业有如下三种应对方案：

方案
防控等级
费用\((\)单位：万元\()\)

方案一
无措施
\(0\)

方案二
防控 \(1\) 级灾害
\(40\)

方案三
防控 \(2\) 级灾害
\(100\)

试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案？说明理由．

难度：难

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3．

某地区工会利用“健步行\(APP\)”开展健步走积分奖励活动\(.\)会员每天走\(5\)千步可获积分\(30\)分\((\)不足\(5\)千步不积分\()\)，每多走\(2\)千步再积\(20\)分\((\)不足\(2\)千步不积分\().\)记年龄不超过\(40\)岁的会员为\(A\)类会员，年龄大于\(40\)岁的会员为\(B\)类会员\(.\)为了解会员的健步走情况，工会从\(A\)，\(B\)两类会员中各随机抽取\(m\)名会员，统计了某天他们健步走的步数，并将样本数据分为\([3,5)\)，\([5,7)\)，\([7,9)\)，\([9,11)\)，\([11,13)\)，\([13,15)\)，\([15,17)\)，\([17,19)\)，\([19,21」\)九组，将抽取的\(A\)类会员的样本数据绘制成频率分布直方图，\(B\)类会员的样本数据绘制成频率分布表\(.\)

分组	频数	频率
\([3,5)\)	\(10\)	\(0.01\)
\([5,7)\)	\(20\)	\(0.02\)
\([7,9)\)	\(20\)	\(0.02\)
\([9,11)\)	\(30\)	\(0.03\)
\([11,13)\)	\(a\)	\(b\)
\([13,15)\)	\(200\)	\(0.2\)
\([15,17)\)	\(n\)	\(0.2\)
\([17,19)\)	\(100\)	\(c\)
\([19,21]\)	\(20\)	\(0.02\)
合计	\(m\)	\(1.00\)

\((\)Ⅰ\()\)求\(m\)和\(a\)的值；
\((\)Ⅱ\()\)从该地区\(A\)类会员中随机抽取\(3\)名，设这\(3\)名会员中健步走的步数在\(13\)千步以上\((\)含\(13\)千步\()\)的人数为\(x\)，求\(x\)的分布列和数学期望；
\((\)Ⅲ\()\)设该地区\(A\)类会员和\(B\)类会员的平均积分分别为\( \overline {X_{1}}\)和\( \overline {X_{2}}\)，试比较\( \overline {X_{1}}\)和\( \overline {X_{2}}\)的大小\((\)只需写出结论\()\)．

难度：难

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4．已知由甲、乙两位男生和丙、丁两位女生组成的四人冲关小组，参加由某电视台举办的知识类答题闯关活动，活动共有四关，设男生闯过一至四关的概率依次是\( \dfrac {5}{6}\)，\( \dfrac {4}{5}\)，\( \dfrac {3}{4}\)，\( \dfrac {2}{3}\)，女生闯过一至四关的概率依次是\( \dfrac {4}{5}\)，\( \dfrac {3}{4}\)，\( \dfrac {2}{3}\)，\( \dfrac {1}{2}\)．
\((1)\)求男生闯过四关的概率；
\((2)\)设\(ξ\)表示四人冲关小组闯过四关的人数，求随机变量\(ξ\)的分布列和期望．

难度：难

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5．随着社会发展，广州市在一天的上下班时段经常会出现堵车严重的现象交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念记交通指数为\(T\)，其范围为\([0,10]\)，分别有\(5\)个级别；\(T∈[0,2) \)畅通；\(T∈[2,4) \)基本畅通；\(T∈[4,6) \)轻度拥堵；\(T∈[6,8) \)中度拥堵；\(T∈[8,10) \)严重拥堵早高峰时段\((T\geqslant 3) \)，从广州市交通指挥中心随机选取了\(50\)个交通路段进行调查，依据交通指数数据绘制的直方图如图所示：

\((1)\)据此直方图，估算交通指数\(T∈[3,9) \)时的中位数和平均数；
\((2)\)据此直方图，求市区早高峰马路之间的\(3\)个路段至少有\(2\)个严重拥堵的概率；
\((3)\)某人上班路上所用时间，若畅通时为\(20\)分钟，基本畅通为\(30\)分钟，轻度拥堵为\(35\)分钟；中度拥堵为\(45\)分钟；严重拥堵为\(60\)分钟，求此人上班所用时间的数学期望．

难度：难

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6．
甲、乙两位小学生各有\(2008\)年奥运吉祥物“福娃”\(5\)个\((\)其中“贝贝”、“晶晶”、“欢欢”、“迎迎”和“妮妮各一个”\()\)，现以投掷一个骰子的方式进行游戏，规则如下：当出现向上的点数是奇数时，甲赢得乙一个福娃；否则乙赢得甲一个福娃，规定掷骰子的次数达\(9\)次时，或在此前某人已赢得所有福娃时游戏终止\(.\)记游戏终止时投掷骰子的次数为\(ξ\)

\((1)\)求掷骰子的次数为\(7\)的概率；

\((2)\)求\(ξ\)的分布列及数学期望\(Eξ\)．

难度：难

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7．

随机变量\(ξ\)的分布列如下，其中\(a\)，\(b\)，\(c\)成等差数列，若\(E(ξ)=\)\( \dfrac{1}{3}\)，则\(D(ξ)=\)________．

\(ξ\)

\(-1\)

\(0\)

\(1\)

\(P\)

\(a\)

\(b\)

\(c\)

难度：难

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8．
某单位实行休年假制度三年以来，\(10\)名职工休年假的次数进行的调查统计结果如表所示：

休假次数

\(0\)

\(1\)

\(2\)

\(3\)

人数

\(1\)

\(2\)

\(4\)

\(3\)

根据上表信息解答以下问题：
\((1)\)从该单位任选两名职工，用\(\eta\)表示这两人休年假次数之和，记“函数\(f(x){=}x^{2}{-}\eta x{-}1\)在区间\((4{,}6)\)上有且只有一个零点”为事件\(A\)，求事件\(A\)发生的概率\(P\)；
\((2)\)从该单位任选两名职工，用\(\xi\)表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量\(\xi\)的分布列及数学期望\({Eξ}\)．

难度：难

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9．某大学为调研学生在\(A{,}B\)两家餐厅用餐的满意度，从在\(A{,}B\)两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了\(100\)人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为\(60\)分\({.}\)整理评分数据，将分数以\(10\)为组距分成\(6\)组：\({[}0{,}10){,}{[}10{,}20){,}{[}20{,}30){,}{[}30{,}40){,}{[}40{,}50){,}{[}50{,}60{]}\)，得到\(A\)餐厅分数的频率分布直方图，和\(B\)餐厅分数的频数分布表：

定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下：

\((1)\)在抽样的\(100\)人中，求对\(A\)餐厅评价“满意度指数”为\(0\)的人数；
\((2)\)从该校在\(A{,}B\)两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取\(1\)人进行调查，试估计其对\(A\)餐厅评价的“满意度指数”比对\(B\)餐厅评价的“满意度指数”高的概率；
\((3)\)如果从\(A{,}B\)两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．

难度：难

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10．
某印刷厂的打印机每\(5\)年需淘汰一批旧打印机并购买新机，买新机时，同时购买墨盒，每台新机随机购买第一盒墨\(150\)元，优惠\(0\)元；再每多买一盒墨都要在原优惠基础上多优惠一元，即第一盒墨没有优惠，第二盒墨优惠一元，第三盒墨优惠\(2\)元，\(……\)，依此类推，每台新机最多可随新机购买\(25\)盒墨\(.\)平时购买墨盒按零售每盒\(200\)元．

公司根据以往的记录，十台打印机正常工作五年消耗墨盒数如下表：

消耗墨盒数

\(22\)

\(23\)

\(24\)

\(25\)

打印机台数

\(1\)

\(4\)

\(4\)

\(1\)

以这十台打印机消耗墨盒数的频率代替一台打印机消耗墨盒数发生的概率，记\(ξ\)表示两台打印机\(5\)年消耗的墨盒数．

\((1)\)求\(ξ\)的分布列；

\((2)\)若在购买两台新机时，每台机随机购买\(23\)盒墨，求这两台打印机正常使用五年在消耗墨盒上所需费用的期望．

难度：难

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0/40

进入组卷

方案	防控等级	费用\((\)单位：万元\()\)
方案一	无措施	\(0\)
方案二	防控 \(1\) 级灾害	\(40\)
方案三	防控 \(2\) 级灾害	\(100\)

消耗墨盒数	\(22\)	\(23\)	\(24\)	\(25\)
打印机台数	\(1\)	\(4\)	\(4\)	\(1\)