知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．

一只药用昆虫的产卵数$y$与一定范围内的温度$x$有关，现收集了该种药用昆虫的$6$组观测数据如表：

温度$x/^{\circ}C$

$23$

$24$

$27$

$29$

$32$

产卵数$y/$个

$6$

$11$

$20$

$27$

$57$

$77$

经计算得：$\overset{˙}{x}= \dfrac{1}{6} \sum\nolimits_{i=1}^{6}{x}_{i}=26 $，$\overset{˙}{y}= \dfrac{1}{6} \sum\nolimits_{i=1}^{6}{y}_{i}=33 $，$\sum\nolimits_{i=1}^{6}({x}_{i}-x)({y}_{i}-y)=557 $，$\sum\nolimits_{i=1}^{6}({x}_{i}-x{)}^{2}=84 $，$\sum\nolimits_{i=1}^{6}({y}_{i}-y{)}^{2}=3930 $，线性回归模型的残差平方和$\sum\nolimits_{i=1}^{6}({y}_{i}-{\hat {y}}_{i}{)}^{2}=236.64 $，$e^{8.0605}≈3167$，其中$x_{i}$，$y_{i}$分别为观测数据中的温度和产卵数，$i=1$，$2$，$3$，$4$，$5$，$6$．
$($Ⅰ$)$若用线性回归模型，求$y$关于$x$的回归方程$\hat {y} =\hat {b} x+\hat {a} ($精确到$0.1)$；
$($Ⅱ$)$若用非线性回归模型求得$y$关于$x$的回归方程为$\hat {y} =0.06e^{0.2303x}$，且相关指数$R^{2}=0.9522$．
$($ $i$ $)$试与$($Ⅰ$)$中的回归模型相比，用$R^{2}$说明哪种模型的拟合效果更好．
$(ii)$用拟合效果好的模型预测温度为$35^{\circ}C$时该种药用昆虫的产卵数$($结果取整数$)$．
附：一组数据$(x_{1},y_{1})$，$(x_{2},y_{2})$，$…$，$(x_{n},y_{n})$，其回归直线$\hat {y} =\hat {b} x+\hat {a} $的斜率和截距的最小二乘估计为$\hat {b}= \dfrac{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}\left({x}^{i}-x\right)\left({y}_{i}-y\right)}{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}({x}_{i}-x{)}^{2}} $，$\hat {a} =\overset{˙}{y} -\hat {b} \overset{˙}{x} $；相关指数$R^{2}=1- \dfrac{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}({y}_{i}-{\hat {y}}_{i}{)}^{2}}{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}({y}_{i}-y{)}^{2}} $．

难度：难

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2．

下列说法：
$①$残差可用来判断模型拟合的效果；
$②$设有一个回归方程：$\hat{y}=3-5x$，变量$x$增加一个单位时，$y$平均增加$5$个单位；
$③$线性回归直线：$\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$必过点$( \bar{x}, \bar{y}) $；
$④$在一个$2\times 2$列联表中，由计算得${{k}^{2}}=13.079$，则有$99{ }\!\!\%\!\!{ }$的把握确认这两个变量间有关系$($其中$P({{k}^{2}}\geqslant 10.828)=0.001)$；
其中错误的个数是

A．$0$

B．$1$

C．$2$

D．$3$

难度：难

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3．
某种产品的广告费支出$x$与销售额$y($单位：万元$)$之间有如下对应数据：

$x$
$2$

$4$

$5$

$6$

$8$

$y$
$30$

$40$

$60$

$50$

$70$

$($Ⅰ$)$用最小二乘法求$y$关于$x$的线性回归方程$\hat {y}=bx+a $；

$($Ⅱ$)$试预估销售额为$95.5$万元时，广告费支出大约为多少万元？参考数据：$\sum\limits_{i=1}^{5}x_{i}^{2}=145 $，$\sum\limits_{i=1}^{5}y_{i}^{2}=13500 $，$\sum\limits_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}=1380 $

难度：难

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4．
下图是我国$2008$年至$2014$年生活垃圾无害化处理量$($单位：亿吨$)$的折线图

$($Ⅰ$)$由折线图看出，可用线性回归模型拟合$y$与$t$的关系，请用相关系数加以说明；

$($Ⅱ$)$建立$y$关于$t$的回归方程$($系数精确到$0.01)$，预测$2016$年我国生活垃圾无害化处理量．

附注：参考数据：$\sum\limits_{i=1}^{7}{{{y}_{i}}}=9.32$，$\sum\limits_{i=1}^{7}{{{t}_{i}}{{y}_{i}}}=40.17$，$\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{7}{{{({{y}_{i}}-\bar{y})}^{2}}}}=0.55$，$\sqrt{7}≈2.646$．

参考公式：相关系数$r= \dfrac{ \sum\nolimits_{i=1}^{7}({t}_{i}- \bar{t})({y}_{i}- \bar{y})}{ \sqrt{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}({t}_{i}- \bar{t}) \underset{i=1}{\overset{n}{{}^{2}∑}}({y}_{i}- \bar{y}{)}^{2}}}= \dfrac{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}{t}_{i}{y}_{i}-n \bar{t \bar{y}}}{ \sqrt{ \sum\limits_{i=1}^{n}({t}_{i}- \bar{t}{)}^{2}} \sqrt{ \sum\limits_{i=1}^{n}({y}_{i}- \bar{y{)}^{2}}}}$

回归方程$\widehat{y}=\widehat{a}+\widehat{b}\,t$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：$\hat {b}= \dfrac{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}({t}_{i}- \bar{t})({y}_{i}-y)}{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}({t}_{i}- \bar{t}{)}^{2}},\hat {a}= \bar{y}-\hat {b} \bar{t} \widehat{a}{=}\bar{y}-\widehat{b}\,\bar{t}.$

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5．

某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了 $1$至$6$月份每月$10$号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：

该兴趣小组确定的研究方案是：先用$2$、$3$、$4$、$5$月的$4$组数据求线性回归方程，再用$1$月和$6$月的$2$组数据进行检验．

$(1)$请根据$2$、$3$、$4$、$5$月的数据，求出$y$关于$x$的线性回归方程$\hat{y}=bx+a$；

$(2)$若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过$2$人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？

$($参考公式：$b=\dfrac{{\sum }_{i=1}^{n}\left( {{x}_{i}}-\bar{x} \right)\left( {{y}_{i}}-\bar{y} \right)}{{\sum }_{i=1}^{n}{{\left( {{x}_{i}}-\bar{x} \right)}^{2}}}=\dfrac{{\sum }_{i=1}^{n}{{x}_{i}}{{y}_{i}}-n\bar{x}\bar{y}}{{\sum }_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{{{\bar{x}}}^{2}}}$，$a=\bar{y}-b\bar{x})$

$($参考数据：$11\times 25+13\times 29+12\times 26+8\times 16=1092$；${{11}^{2}}+{{13}^{2}}+{{12}^{2}}+{{8}^{2}}=498$$.)$

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6．随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：
年份 2010 2011 2012 2013 2014
时间代号t 1 2 3 4 5
储蓄存款y（千亿元） 5 6 7 8 10
（Ⅰ）求y关于t的回归方程 $%20%5Chat%20y$ = $%20%5Chat%20b$ t+ $%20%5Chat%20a$ ．
（Ⅱ）用所求回归方程预测该地区2015年（t=6）的人民币储蓄存款．
附：回归方程 $%20%5Chat%20y$ = $%20%5Chat%20b$ t+ $%20%5Chat%20a$ 中
$%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Coverset%7Bb%3D%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28t_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bt%7D%29%28y_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D%29%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28t_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bt%7D%29%5E%7B2%7D%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dt_%7Bi%7Dy_%7Bi%7D-n%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bt%7D%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20t_%7B%20i%20%7D%5E%7B%202%20%7D-n%20%5Coverset%7B%7D%7Bt%7D%5E%7B2%7D%7D%7D%7Ba%3D%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D-b%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bt%7D%7D%5Cend%7Bcases%7D$ ．

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7．
随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长$.$设某地区城乡居民人民币储蓄存款$($年底余额$)$如下表：

年份

$2010$

$2011$

$2012$

$2013$

$2014$

时间代号$t$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

储蓄存款$y$$($千亿元$)$

$5$

$6$

$7$

$8$

$10$

$(1)$求$y$关于$t$的回归方程$ \overset{\}{y}= \overset{\}{b}t+ \overset{\}{a} $；

$(2)$用所求回归方程预测该地区$2015$年$($$t$$=6)$的人民币储蓄存款．

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8．
为了解某地区某种农产品的年产量$x($单位：吨$)$对价格$y($单位：千元$/$吨$)$和利润$z$的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表：

$x$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

$y$

$7$

$6$

$5$

$4$

$2$

$(1)$求$y$关于$x$的线性回归方程$ \overset{\}{y} = \overset{\}{b} x- \overset{\}{a} $；

$(2)$若每吨该农产品的成本为$2$千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润$z$取到最大值？

参考公式：$ \overset{\}{b} = \dfrac{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}\left({x}_{i}- \overset{¯}{x}\right)\left({y}_{i}- \overset{¯}{y}\right)}{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}{\left({x}_{i}- \overset{¯}{x}\right)}^{2}} = \dfrac{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i-}n· \overset{¯}{x}· \overset{¯}{y}}{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{x}^{-2}} $，$ \overset{\}{a} = \overset{¯}{y} - \overset{\}{b} \overset{¯}{x} $．

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9．

$2015$年$12$月$10$日开始，武汉淹没在白色雾霾中，$PM2.5$浓度在$200$微克$～300$微克$/$立方米的范围，空气质量维持重度污染。某兴趣小组欲研究武昌区$PM2.5$浓度大小与患鼻炎人数多少之前的关系，他们分别到气象局与该地区某医院抄录了$12$月$10$日至$15$日的武昌区$PM2.5$浓度大小与该地区因患鼻炎而就诊的人数，整理得到如下资料：

日期

$12$月$10$日

$12$月$11$日

$12$月$12$日

$12$月$13$日

$12$月$14$日

$12$月$15$日

$PM2.5$浓度

超过$200$的部分为$x$

$($微克$/$立方米$)$

$10$

$11$

$13$

$12$

$8$

$5$

就诊人数$y($个$)$

$22$

$25$

$29$

$26$

$16$

$12$

该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取$2$组，用剩下的$4$组数据求线性回归方程，再用被选取的$2$组数据进行实验．

$($Ⅰ$)$若选取的是$10$号与$15$号的两组数据，请根据$11$至$14$号的数据，求出$y$关于$x$的线性回归方程；附：对于一组数据$({{x}_{1}},{{y}_{1}}),({{x}_{2}},{{y}_{2}}),.......({{x}_{n}},{{y}_{n}})$，其回归直线$\overset{\wedge }{{y}}\,=\overset{\wedge }{{a}}\,+\overset{\wedge }{{b}}\,x$的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

$\overset{\wedge }{{b}}\,=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}{({{x}_{i}}-\overline{x})({{y}_{i}}-\overline{y})}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{{{({{x}_{i}}-\overline{x})}^{2}}}}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}{{y}_{i}}}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{x_{i}^{2}}-n{{\overline{x}}^{2}}},\overset{\wedge }{{a}}\,=\overline{y}-\overset{\wedge }{{b}}\,\overline{x}$

$($Ⅱ$)$若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过$2$人，则认为得到的线性方程是理想的，该问该小组所得线性回归方程是否理想？

难度：难

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10．
某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：

$(1)$在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；

$(2)$求出$y$关于$x$的回归直线方程$=$$x$$+$，并在坐标系中画出回归直线；

$(3)$试预测加工$10$个零件需要多少时间？

$($注：$= \dfrac{\sum_{^{i}^{=}^{1}}^{_{n}}x_{i}y_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{^{i}^{=}^{1}}^{_{n}}x\rlap{{\!\,}^{2}}{{\!\,}_{i}}-n\overline{x}^{2}}$，$=\overline{y}-\overline{x}).$

难度：难

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温度\(x/^{\circ}C\)		\(23\)	\(24\)	\(27\)	\(29\)	\(32\)
产卵数\(y/\)个	\(6\)	\(11\)	\(20\)	\(27\)	\(57\)	\(77\)

\(x\)	\(2\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)	\(8\)
\(y\)	\(30\)	\(40\)	\(60\)	\(50\)	\(70\)

年份	\(2010\)	\(2011\)	\(2012\)	\(2013\)	\(2014\)
时间代号\(t\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)
储蓄存款\(y\)\((\)千亿元\()\)	\(5\)	\(6\)	\(7\)	\(8\)	\(10\)

\(x\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)
\(y\)	\(7\)	\(6\)	\(5\)	\(4\)	\(2\)

年份	2010	2011	2012	2013	2014
时间代号t	1	2	3	4	5
储蓄存款y（千亿元）	5	6	7	8	10