知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

如图，已知抛物线的方程为\(x^{2}=2py(p > 0)\)，过点\(A(0,-1)\)作直线与抛物线相交于\(P\)，\(Q\)两点，点\(B\)的坐标为\((0,1)\)，连接\(BP\)，\(BQ\)，设\(QB\)，\(BP\)与\(x\)轴分别相交于\(M\)，\(N\)两点\(.\)如果\(QB\)的斜率与\(PB\)的斜率的乘积为\(-3\)，则\(∠MBN\)的大小等于\((\)　　\()\)

A．\( \dfrac {π}{2}\)

B．\( \dfrac {π}{4}\)

C．\( \dfrac {2π}{3}\)

D．\( \dfrac {π}{3}\)

难度：难

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4．
在直角坐标系\(xOy\)中，过点\(P( \dfrac { \sqrt {3}}{2}, \dfrac {3}{2})\)作倾斜角为\(α\)的直线\(l\)与曲线\(C\)：\(x^{2}+y^{2}=1\)相交于不同的两点\(M\)，\(N\)．
\((1)\)写出直线\(l\)的参数方程；
\((2)\)求 \( \dfrac {1}{|PM|}+ \dfrac {1}{|PN|}\)的取值范围．

难度：难

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5．
已知椭圆\(C\)：\(9x^{2}+y^{2}=m^{2}(m > 0)\)，直线\(l\)不过原点\(O\)且不平行于坐标轴，\(l\)与\(C\)有两个交点\(A\)，\(B\)，线段\(AB\)的中点为\(M\)．
\((1)\)证明：直线\(OM\)的斜率与\(l\)的斜率的乘积为定值；
\((2)\)若\(l\)过点\(( \dfrac {m}{3},m)\)，延长线段\(OM\)与\(C\)交于点\(P\)，四边形\(OAPB\)能否为平行四边形？若能，求此时\(l\)的斜率；若不能，说明理由．

难度：难

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6．
直线\(x{-}y\sin\alpha{-}3{=}0(\alpha{∈}R)\)的倾斜角的取值范围是______．

难度：难

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7．
已知椭圆\(C:\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+\dfrac{{{y}^{2}}}{n}=1\left( 0 < n < 2 \right)\)．

\((\)Ⅰ\()\)若椭圆\(C\)的离心率为\(\dfrac{1}{2}\)，求\(n\)的值；
\((\)Ⅱ\()\)若过点\(N\left( -2,0 \right)\)任作一条直线\(l\)与椭圆\(C\)交于不同的两点\(A,B\)，在\(x\)轴上是否存在点\(M\)，使得\(\angle NMA+\angle NMB=180{}^\circ \)？若存在，求出点\(M\)的坐标；若不存在，请说明理由．

难度：难

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8．
\((1)\)已知直线\(m\)过点\((2,4)\)且垂直于两平行直线\(x-y+1=0\)，\(x-y+2=0\)，求直线\(m\)的方程．

\((2)\)若直线\(l\)过点\((2,4)\)且被两平行直线\(x-y+1=0\)，\(x-y+2=0\)所截得的线段的中点在直线\(x+2y-3=0\)上，求直线\(l\)的方程。

难度：难

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9．
已知曲线\(C\)的极坐标方程是\(ρ=4\cos θ.\)以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为\(x\)轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线\(l\)的参数方程是\(\begin{cases} x=1+t\cos α, \\ y=t\sin α \end{cases}(t\)是参数\()\)．

\((1)\)将曲线\(C\)的极坐标方程化为直角坐标方程；

\((2)\)若直线\(l\)与曲线\(C\)相交于\(A\)，\(B\)两点，且\(|AB|= \sqrt{14}\)，求直线\(l\)的倾斜角\(α\)的值．

难度：难

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10．
已知椭圆\(C:\dfrac{{{x}^{2}}}{4}+{{y}^{2}}=1\) ．

\((\)Ⅰ\()\)若\(P\)，\(Q\)为椭圆\(C\)上两点，且线段\(PQ\)的中点为\(\left( 1,\dfrac{1}{2} \right)\)，求直线\(PQ\)的斜率；

\((\)Ⅱ\()\)过\(\left(1,0\right) \)且与\(x\)轴不垂直的直线交椭圆于\(M\)，\(N\)两点，在\(x\)轴上是否存在定点\(A\)，使得\(\angle OAM=\angle OAN\)，若存在，求出定点\(A\)的坐标，若不存在，说明理由．

难度：难

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