知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
如图，在直角梯形\(ABCD\)中，\(AB\)\(/\!/\)\(CD\)，\(∠\)\(ADC\)\(=90^{\circ}\)，\(AB\)\(=3\)，\(AD=\sqrt{2}\)，\(E\)为\(BC\)中点，若\(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=3\)，则\(\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{BC}=\) ．

难度：难

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2．

如果椭圆\( \dfrac{{x}^{2}}{36}+ \dfrac{{y}^{2}}{9}=1 \)的弦被点\(\left(2,1\right) \)平分，则这条弦所在的直线方程是___________

难度：难

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3．
已知椭圆\(C:\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\left( a > b > 0 \right)\)的右顶点\(A(2,0)\)，且过点\((-1,\dfrac{\sqrt{3}}{2})\)

\((I)\)求椭圆\(C\)的方程；

\((II)\)过点\(B(1,0)\)且斜率为\({{k}_{1}}\left( {{k}_{1}}\ne 0 \right)\)的直线\(l\)于椭圆\(C\)相交于\(E\)，\(F\)两点，直线\(AE\)，\(AF\)分别交直线\(x=3\)于\(M\)，\(N\)两点，线段\(MN\)的中点为\(P\)，记直线\(PB\)的斜率为\({{k}_{2}}\)，求证：\({{k}_{1}}\cdot {{k}_{2}}\)为定值．

难度：难

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4．
已知椭圆\( \dfrac{{x}^{2}}{8}+ \dfrac{{y}^{2}}{2}=1 \)经过点\(M\left( 2,1 \right)\)，\(O\)为坐标原点，平行于\(OM\)的直线\(l\)在\(y\)轴上的截距为\(3\)．

\((1)\)判断直线\(l\)与椭圆的位置关系\((\)直接写出结论，不必证明\()\)；

\((2)\)若过点\(N\left( 1,1 \right)\)的直线\(m\)交椭圆于\(A\)，\(B\)两点，且\(N\)是线段\(AB\)的中点，求直线\(m\)的方程；

\((3)\)若\(P\)为椭圆上的动点，求点\(P\)到直线\(l\)距离的最小值。

难度：难

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5．
已知\(\triangle ABC\)的顶点\(A(5,1)\)，\(AB\)边上的高线\(CH\)所在的直线方程为\(x-2y-5=0\)，\(AC\)边上的中线\(BM\)所在的直线方程为\(2x-y-1=0\)．

求：\((1)\)顶点\(B\)的坐标；

\((2)BC\)边的垂直平分线方程．

难度：难

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6．
己知斜率为\(1\)的直线\(l\)与双曲线\(C\)：\( \dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}- \dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a > 0,b > 0) \)相交于\(B\)、\(D\)两点，且\(BD\)的中点为\(M\left( 1,3 \right).\)则\(C\)的离心率\(=\)__________．

难度：难

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7．

已知\({{F}_{1}},{{F}_{2}}\)是双曲线\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > 0,b > 0)\)的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点\(P\)与点\({{F}_{2}}\)关于直线\(y=\dfrac{b}{a}x\)对称，则该双曲线的离心率为

A．\(2\)

B．\(\sqrt{5}\)

C．\(\sqrt{3}\)

D．\(3\)

难度：难

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