已知椭圆\(C:\dfrac{{{y}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{x}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\left( a > b > 0 \right)\)的离心率\(e=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)，两焦点分别为\({{F}_{1}},{{F}_{2}}\)，右顶点为\(M\)，\(\overrightarrow{M{{F}_{1}}}\cdot \overrightarrow{M{{F}_{2}}}=-2\)．

\((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C\)的标准方程；

\((\)Ⅱ\()\)设过定点\((-2,0)\)的直线\(l\)与双曲线\(\dfrac{{{x}^{2}}}{4}-{{y}^{2}}=1\)的左支有两个交点，与椭圆\(C\)交于\(A,B\)两点，与圆\(N:{{x}^{2}}+{{(y-3)}^{2}}=4\)交于\(P,Q\)两点，若\(\Delta MAB\)的面积为\(\dfrac{6}{5}\)，\(\overrightarrow{AB}=\lambda \overrightarrow{PQ}\)，求正数\(\lambda \)的值．

已知椭圆\(\Gamma \)的中心在坐标原点，且经过点\((1,\dfrac{3}{2})\)，它的一个焦点与抛物线\({E} :{{y}^{2}}=4x\)的焦点重合．

\((1)\)求椭圆\(\Gamma \)的方程；

\((2)\)斜率为\(k\)的直线\(l\)过点\(F(1,0)\)，且与抛物线\({E} \)交于\(A\)，\(B\)两点，设点\(P(-1,k)\)，\(\vartriangle PAB\)的面积为\(4\sqrt{3}\)，求\(k\)的值；

\((3)\)若直线\(l\)过点\(M(0,m)(m\ne 0)\)，且与椭圆\(\Gamma \)交于\(C\)，\(D\)两点，点\(C\)关于\(y\)轴的对称点为\(Q\)，直线\(QD\)的纵截距为\(n\)，证明：\(mn\)为定值．

椭圆\({E} :\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > b > 0)\)的左焦点为\({{{F}}_{1}}\)，右焦点为\({{{F}}_{2}}\)，离心率\(e=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.\)设动直线\(l:y=kx+m\)与椭圆\({E} \)相切于点\({R} \)且交直线\(x=2\)于点\({N} \)，\(\Delta {R} {{{F}}_{1}}{{{F}}_{2}}\)的周长为\(2\left( \sqrt{2}+1 \right)\)．

\(\left( 1 \right)\)求椭圆\({E} \)的方程；

\(\left( 2 \right)\)求证：以\({R} {N} \)为直径的圆恒过点\({{{F}}_{2}}\)．

已知椭圆\( \dfrac{x^{2}}{4}+ \dfrac{y^{2}}{3}=1\)的左顶点为\(A\)，右焦点为\(F\)，过点\(F\)的直线交椭圆于\(B\)，\(C\)两点．

\((1)\)求该椭圆的离心率；

\((2)\)设直线\(AB\)和\(AC\)分别与直线\(x=4\)交于点\(M\)，\(N\)，问：\(x\)轴上是否存在定点\(P\)使得\(MP⊥NP\)？若存在，求出点\(P\)的坐标；若不存在，说明理由．

已知抛物线\(C:{{y}^{2}}=2px\left( p > 0 \right)\)的焦点\(F\)，抛物线上一点\(M\)点横坐标为\(2\)，\(\left| MF \right|=3\)．

​

\((1)\)求抛物线的方程；

\((2)\)如图，点\(P\left( -\dfrac{P}{2},t \right)\left( t\ne 0 \right)\)为抛物线\(E\)的准线上一点，过点\(P\)作\(y\)轴的垂线交抛物线于点\(M\)，连接\(PO\)并延长交抛物线于点\(N\)，求证：直线\(MN\)过定点．