知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．
在直角坐标系$xOy$中，直线$l$的方程为$x-y+4=0$，曲线$C$的参数方程为

$\begin{cases} x= \sqrt{3}\cos α, \\ y=\sin α \end{cases}(α$为参数$)$．

$(1)$已知在极坐标系$($与直角坐标系$xOy$取相同的长度单位，且以原点$O$为极点，以$x$轴正半轴为极轴$)$中，点$P$的极坐标为$\left( \left. 4, \dfrac{π}{2} \right. \right)$，判断点$P$与直线$l$的位置关系；

$(2)$设点$Q$是曲线$C$上的一个动点，求它到直线$l$的距离的最小值．

难度：难

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2．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系、设曲线C参数方程为 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20x%3D%20%5Csqrt%20%7B3%7Dcos%CE%B8%20%5C%5C%20y%3D%C2%A0sin%CE%B8%5Cend%7Bcases%7D$ （θ为参数），直线l的极坐标方程为ρcos（θ- $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B4%7D$ ）=2 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ．
（1）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）求曲线C上的点到直线l的最大距离．

难度：难

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3．已知a、b、c为某一直角三角形的三条边长，c为斜边．若点（m，n）在直线ax+by+2c=0上，则m²+n²的最小值是 ______ ．

难度：难

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4．已知坐标平面上点M（x，y）与两个定点M₁（26，1），M₂（2，1）的距离之比等于5．
（1）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）记（1）中的轨迹为C，过点A（-2，3）的直线l被C所截得的线段的长为8，求直线l的方程．

难度：难

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5．已知圆C经过坐标原点O和点A（4，2），圆心C在直线x+2y-1=0上，则圆心到弦OA的距离为 ______ ．

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6．曲线y=2lnx上的点到直线2x-y+3=0的最短距离为（　　）

A． $%20%5Csqrt%20%7B5%7D$

B．2 $%20%5Csqrt%20%7B5%7D$

C．3 $%20%5Csqrt%20%7B5%7D$

D．2

难度：难

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7．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x₁，y₁）∈M，都存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：
①M={（x，y）|y= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bx%7D$ }；　　
②M={（x，y）|y=log₂x}；
③M={（x，y）|y=e^x-2；
④M={（x，y）|y=sinx+1．
其中是“垂直对点集”的序号是 ______ ．

难度：难

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8．已知点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)(x₁x₂≠0)是抛物线y²=2px(p＞0)上的两个动点，O是坐标原点，向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D$ ， $%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ 满足 $%7C%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D%2B%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D%7C%3D%7C%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D-%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D%7C$ ，设圆C的方程为x²+y²-(x₁+x₂)x-(y₁+y₂)y=0．
(1)证明线段AB是圆C的直径；
(2)当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为 $%20%5Cfrac%20%7B2%20%5Csqrt%20%7B5%7D%7D%7B5%7D$ 时，求p的值．

难度：难

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9．已知椭圆C的焦点是 $F_%7B1%7D%280%2C-%20%5Csqrt%20%7B3%7D%29$ ， $F_%7B2%7D%280%2C%20%5Csqrt%20%7B3%7D%29$ ，点P在椭圆上且满足|PF₁|+|PF₂|=4．
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；
(Ⅱ)设直线l：2x+y+2=0与椭圆C的交点为A，B．
(i)求使△PAB的面积为 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ 的点P的个数；
(ii)设M为椭圆上任一点，O为坐标原点， $%20%5Coverrightarrow%20%7BOM%7D%3D%5Clambda%20%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D%2B%5Cmu%20%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D%28%5Clambda%20%2C%5Cmu%20%5Cin%20R%29$ ，求λ²+μ²的值．

难度：难

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10．己知点F为抛物线C：y²=x的焦点，斜率为1的直线l交抛物线于不同两点P，Q．以F为圆心，以FP，FQ为半径作圆，分别交x轴负半轴于M，N，直线PM，QN交于点T．
(I)判断直线PM与抛物线C的位置关系，并说明理由；
(II)连接FT，FQ，FP，记S₁=S_△PFT，S₂=S_△QFT，S₃=S_△PQT设直线l在y轴上的截距为m，当m何值时， $%20%5Cfrac%20%7BS_%7B1%7DS_%7B2%7D%7D%7BS_%7B3%7D%7D$ 取得最小值，并求出取到最小值时直线l的方程．

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