已知动点\(P(x,y)\)满足方程\(3{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}-12=0\)，则\(P(x,y)\)到直线\(x+y-6=0\)的距离的取值范围_________________________\(.\) 

如图所示，已知\(A\)、\(B\)、\(C\)是长轴长为\(4\)的椭圆\(E\)上的三点，点\(A\)是长轴的一个端点，\(BC\)过椭圆中心\(O\)，且\( \overrightarrow{AC}· \overrightarrow{BC}=0 \)，\(|BC|=2|AC|\)．

\((1)\)求椭圆\(E\)的方程；

\((2)\)在椭圆\(E\)上是否存点\(Q\)，使得\(|QB{{|}^{2}}-|QA{{|}^{2}}=2\)？若存在，有几个\((\)不必求出\(Q\)点的坐标\()\)，若不存在，请说明理由．

\((3)\)过椭圆\(E\)上异于其顶点的任一点\(P\)，作\(\odot O:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=\dfrac{4}{3}\)的两条切线，切点分别为\(M\)、\(N\)，若直线\(MN\)在\(x\)轴、\(y\)轴上的截距分别为\(m\)、\(n\)，证明：\(\dfrac{1}{3{{m}^{2}}}+\dfrac{1}{{{n}^{2}}}\)为定值．

设椭圆\(\dfrac{{{x}^{2}}}{16}+\dfrac{{{y}^{2}}}{12}=1\)上三个点\(M\)，\(N\)和\(T\)，且\(M\)，\(N\)在直线\(x=8\)上的射影分别为\({{M}_{1}},{{N}_{1}}\)．

\((1)\)若直线\(MN\)过原点\(O\)，直线\(MT\)，\(NT\)斜率分别为\({{k}_{1}},{{k}_{2}}\)，求证：\({{k}_{1}}\cdot {{k}_{2}}\)为定值；

\((2)\)若\(M\)，\(N\)不是椭圆长轴的端点，点\(L\)坐标为\(\left( 3,0 \right)\)，\(\Delta {{M}_{1}}{{N}_{1}}L\)与\(\Delta MNL\)面积之比为\(5\)，求\(MN\)中点\(K\)的轨迹方程．

已知点\(P\)是直线\(y=x+2 \) 上任意一点，以点\(A\left(-1,0\right) \) 、\(B\left(1,0\right) \) 为焦点的椭圆过点\(P.\)则椭圆离心率 \(e\) 的最大值是________．

如图，已知圆\(O\)：\(x\)\({\,\!}^{2}\)\(+y\)\({\,\!}^{2}\)\(=4\)与坐标轴交于\(A\)\({\,\!}_{1}\)，\(A\)\({\,\!}_{2}\)，\(B\)\({\,\!}_{1}\)，\(B\)\({\,\!}_{2}\)．

\((1)\)点\(Q\)是圆\(O\)上除\(A_{1}\)，\(A_{2}\)外的任意点\((\)如图\(1)\)，\(A_{1}Q\)，\(A_{2}Q\)与直线\(y+3=0\)交于不同的两点\(M\)，\(N\)，求线段\(MN\)长度的最小值；

\((2)\)点\(P\)是圆\(O\)上除\(A_{1}\)，\(A_{2}\)，\(B_{1}\)，\(B_{2}\)外的任意点\((\)如图\(2)\)，直线\(B_{2}P\)交\(x\)轴于点\(F\)，直线\(A_{1}B_{2}\)交\(A_{2}P\)于点\(E.\)设\(A_{2}P\)的斜率为\(k\)，\(EF\)的斜率为\(m\)，求证：\(2m-k\)为定值．

已知椭圆\({C}_{1}\;:\; \dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+ \dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1\left(a > b > 0\right) \) 经过点\(M\left(1, \dfrac{3}{2}\right) \)，且其右焦点与抛物线\({C}_{2}\;:\;{y}^{2}=4x \)的焦点\(F\)重合，过点\(F\)且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于\(P\)，\(Q\)两点．

\((1)\)求椭圆\({C}_{1} \)的方程；

\((2)\)设\(O\)为坐标原点，线段\(OF\)上是否存在点\(N\left(n,0\right) \)，使得\( \overrightarrow{QP}· \overrightarrow{NP}= \overrightarrow{PQ}· \overrightarrow{NQ} \)？若存在，求出\(n\)的取值范围；若不存在，说明理由；

\((3)\)过点\({P}_{0}\left(4,0\right) \)且不垂直于\(x\)轴的直线与椭圆交于\(A\)，\(B\)两点，点\(B\)关于\(x\)轴的对称点为\(E\)，试证明：直线\(AE\)过定点．