知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知点$A( \sqrt {3},0)$，点$P$是圆$(x+ \sqrt {3})^{2}+y^{2}=16$上的任意一点，设$Q$为该圆的圆心，并且线段$PA$的垂直平分线与直线$PQ$交于点$E$．
$(1)$求点$E$的轨迹方程；
$(2)$已知$M$，$N$两点的坐标分别为$(-2,0)$，$(2,0)$，点$T$是直线$x=4$上的一个动点，且直线$TM$，$TN$分别交$(1)$中点$E$的轨迹于$C$，$D$两点$(M,N,C,D$四点互不相同$)$，证明：直线$CD$恒过一定点，并求出该定点坐标．

难度：难

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2．
已知圆$C$：$(x-3)^{2}+(y-4)^{2}=4$，直线$l_{1}$过定点$A(1,0)$．
$(1)$若$l_{1}$与圆相切，求$l_{1}$的方程；
$(2)$若$l_{1}$与圆相交于$P$，$Q$两点，线段$PQ$的中点为$M$，又$l_{1}$与$l_{2}$：$x+2y+2=0$的交点为$N$，判断$AM⋅AN$是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说明理由．

难度：难

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3．圆x²+y²=8内有一点P（-1，2），AB为过点P且倾斜角为α的弦，
（1）当α=135°时，求|AB|；
（2）当弦AB被点P平分时，求出直线AB的方程；
（3）设过P点的弦的中点为M，求点M的坐标所满足的关系式．

难度：难

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4．已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=25及直线l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4．（m∈R）
（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；
（2）求直线l与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线l的方程．

难度：难

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5．已知圆C：（x-3）²+（y-4）²=4，直线l₁过定点A（1，0）．
（1）若l₁与圆相切，求l₁的方程；
（2）若l₁与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，又l₁与l₂：x+2y+2=0的交点为N，判断AM•AN是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说明理由．

难度：难

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6．已知以点C（t， $%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7Bt%7D$ ）（t∈R且t≠0）为圆心的圆经过原点O，且与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求证：△AOB的面积为定值．
（2）设直线2x+y-4=0与圆C交于点M，N，若|OM|=|ON|，求圆C的方程．
（3）在（2）的条件下，设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标．

难度：难

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7．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x²+y²=4和点P（-1，1），过点P的直线l交圆O于A、B两点．
（1）若|AB|=2 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ，求直线l的方程；
（2）设弦AB的中点为M，求点M的轨迹方程．

难度：难

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8．
已知圆$C$：$x^{2}+(y-4)^{2}=4$，直线$l$：$(3m+1)x+(1-m)y-4=0$
$($Ⅰ$)$求直线$l$所过定点$A$的坐标；
$($Ⅱ$)$求直线$l$被圆$C$所截得的弦长最短时$m$的值及最短弦长；
$($Ⅲ$)$已知点$M(-3,4)$，在直线$MC$上$(C$为圆心$)$，存在定点$N($异于点$M)$，
满足：对于圆$C$上任一点$P$，都有$ \dfrac {|PM|}{|PN|}$为一常数，试求所有满足条件的点$N$的
坐标及该常数．

难度：难

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9．
已知半径为$5$的圆的圆心在$x$轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线$4x+3y-29=0$相切．
$($Ⅰ$)$求圆的方程；
$($Ⅱ$)$设直线$ax-y+5=0(a > 0)$与圆相交于$A$，$B$两点，求实数$a$的取值范围；
$($Ⅲ$)$在$($Ⅱ$)$的条件下，是否存在实数$a$，使得弦$AB$的垂直平分线$l$过点$P(-2,4)$，若存在，求出实数$a$的值；若不存在，请说明理由．

难度：难

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10．已知圆C：x²+y²=4和直线l：3x+4y+12=0，点P是圆C上的一动点，直线与坐标轴的交点分别为点A、B，
（1）求与圆C相切且平行直线l的直线方程；
（2）求△PAB面积的最大值．

难度：难

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