\((1)\)求圆心为\(\left( 2,-1 \right)\)且与\(x\)轴相切的圆的标准方程_______．

\((2)\)已知\(f(x)=\log _{a}^{{}}(8-3ax)\)在\([-1,2]\)上的减函数，则实数\(a\)的取值范围是_______．

\((3)\)已知直线\(ax+by=1\)与圆\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=\dfrac{1}{4}\)相交于不同的\(A,B\)两点，且\(\left| AB \right| < \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)，则\({{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2a\)的取值范围为_______．

\((4)\)已知函数\(f(x)={{x}^{2}}+2x\)，\(g(x)={{(\dfrac{1}{2})}^{x}}+m\)，若任意\({{x}_{1}}\in [1,2]\)，存在\({{x}_{2}}\in [-1,1]\)，使得\(f({{x}_{1}})\geqslant g({{x}_{2}})\)，则实数\(m\)的取值范围是______________\(.\)    

在直角坐标系\({xOy}\)中，直线\(l\)的参数方程为\(\begin{cases} x{=}1{+}{t\cos α} \\ y{=}1{+}{t\sin α} \end{cases}(t\)为参数，\(0{\leqslant }\alpha{ < }\pi)\)，以原点\(O\)为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线\(C\)的极坐标方程为\(\rho{=}2\cos\theta{+}2\sin\theta\)．

\((1)\)若直线\(l\)过点\((2{,}0)\)，求直线\(l\)的极坐标方程；

\((2)\)若直线\(l\)与曲线\(C\)交于\(A{,}B\)两点，求\({|}{OA}{|+|}{OB}{|}\)的最大值

直线 \(l\)：\((2m{+}1)x{+}(m{+}1)y{-}7m{-}4{=}0(m{∈}R)\)被圆\(C\)：\((x{-}1)^{2}{+}(y{-}2)^{2}{=}25\) 所截得的最短的弦长为______ ．

选修\(4-4\)：坐标系与参数方程

已知曲线\({{C}_{1}}\)的极坐标为\(\rho =1\)，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为\(x\)的正半轴，建立平面直角坐标系\(xOy\)．

\((1)\)若曲线\({{C}_{2}}\)：\(\begin{cases} & x=1+t, \\ & y=2+t \end{cases}(t\)为参数\()\)与曲线\({{C}_{1}}\)相交于两点\(A\)，\(B\)，求\(|AB|\)；

\((2)\)若\(M\)是曲线\({{C}_{1}}\)上的动点，且点\(M\)的直角坐标为\((x,y)\)，求\((x+1)(y+1)\)的最大值．

如图，在平面直角坐标系\(xOy\)中，已知圆\({{C}_{1}}:{{(x+3)}^{2}}+(y-{{1}^{2}})=4\)和圆\({{C}_{2}}:{{(x-4)}^{2}}+{{(y-5)}^{2}}=4\)．

    \((1)\)若直线\(l\)过点\(A(4,0)\)，且被圆\(C_{l}\)截得的弦长为\(2\sqrt{3}\)，求直线\(l\)的方程；

    \((2)\)设\(P\)为平面上的点，满足：存在过点\(P\)的无穷多对互相垂直的直线\(l_{2}\)和\(l_{2}\)，它们分别与圆\(C_{1}\)和圆\(C_{2}\)相交，且直线\(l_{1}\)被圆\(C_{1}\)截得的弦长与直线\(l_{2}\)被圆\(C_{2}\)截得的弦长相等\(.\)试求所有满足条件的点\(P\)的坐标．

已知圆\(C:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-8y+21=0\)，直线\(l\)过定点\(A\left( 1,0 \right)\)．

\((I)\)求圆\(C\)的圆心和半径；

\((II)\)若\(l\)与圆\(C\)相切，求\(l\)的方程；

\((III)\)若\(l\)与圆\(C\)相交于\(P\)，\(Q\)两点，求三角形\(CPQ\)面积的最大值，并求此时\(l\)的直线方程．

已知直线\(l\)：\(mx+y+3m-\sqrt{3}=0\)与圆\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=12\)交于\(A,B\)两点，过\(A,B\)分别做\(l\)的垂线与\(x\)轴交于\(C,D\)两点，若\(AB=2\sqrt{3}\)，则\(|CD|=\)______．