已知圆\(O\)：\(x^{2}+y^{2}=4\)，点\(A(- \sqrt{3},0)\)，\(B( \sqrt{3},0)\)，以线段\(AP\)为直径的圆\(C_{1}\)内切于圆\(O.\)记点\(P\)的轨迹为\(C_{2}\)．

\((1)\)证明：\(|AP|+|BP|\)为定值，并求\(C_{2}\)的方程；

\((2)\)过点\(O\)的一条直线交圆\(O\)于\(M\)，\(N\)两点，点\(D(-2,0)\)，直线\(DM\)，\(DN\)与\(C_{2}\)的另一个交点分别为\(S\)，\(T.\)记\(\triangle DMN\)，\(\triangle DST\)的面积分别为\(S_{1}\)，\(S_{2}\)，求\( \dfrac{S_{1}}{S_{2}}\)的取值范围．

若点集\(A=\{(x,y)|{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\leqslant 1\},B=\{(x,y)|-1\leqslant x\leqslant 1,-1\leqslant y\leqslant 1\}\)，则点集\(P=\left\{ (x,y)\left| x={{x}_{1}}+1,y={{y}_{1}}+1 \right. \right.,({{x}_{1}},{{y}_{1}})\in A\}M=\{(x,y)|x={x}_{1}+{x}_{2},y={y}_{1}+{y}_{2} ,(x_{1},y_{1})∈A,({x}_{2},{y}_{2})∈B\} \)所表示的区域的面积分别为_______________；    _______________\(.\) 

如图，已知圆\(x^{2}+y^{2}=12\)与抛物线\(x^{2}=2py(p > 0)\)相交于\(A\)，\(B\)两点，点\(B\)的横坐标为\(2\sqrt{2}\)，\(F\)为抛物线的焦点．

\((\)Ⅰ\()\)求抛物线的方程；

\((\)Ⅱ\()\)若过点\(F\)且斜率为\(l\)的直线\(l\)与抛物线和圆交于四个不同的点，从左至右依次为\(P_{1}\)，\(P_{2}\)，\(P_{3}\)，\({\,\!}_{P4}\)，求\(|P_{1}P_{2}-P_{3}P_{4}|\)的值．

如图所示，已知\(A\)、\(B\)、\(C\)是长轴长为\(4\)的椭圆\(E\)上的三点，点\(A\)是长轴的一个端点，\(BC\)过椭圆中心\(O\)，且\( \overrightarrow{AC}· \overrightarrow{BC}=0 \)，\(|BC|=2|AC|\)．

\((1)\)求椭圆\(E\)的方程；

\((2)\)在椭圆\(E\)上是否存点\(Q\)，使得\(|QB{{|}^{2}}-|QA{{|}^{2}}=2\)？若存在，有几个\((\)不必求出\(Q\)点的坐标\()\)，若不存在，请说明理由．

\((3)\)过椭圆\(E\)上异于其顶点的任一点\(P\)，作\(\odot O:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=\dfrac{4}{3}\)的两条切线，切点分别为\(M\)、\(N\)，若直线\(MN\)在\(x\)轴、\(y\)轴上的截距分别为\(m\)、\(n\)，证明：\(\dfrac{1}{3{{m}^{2}}}+\dfrac{1}{{{n}^{2}}}\)为定值．

已知圆心在第二象限的圆\(C\)经过两条直线\(3x+y-5=0\)和\(2x-3y+4=0\)的交点并且与直线\(3x-4y+5=0\)和\(x\)轴都相切，求圆\(C\)的方程．