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          共50条信息

            • 1．
              已知抛物线\(E\)：\(y^{2}=2px(p > 0)\)，斜率为\(k\)且过点\(M(3,0)\)的直线\(l\)与\(E\)交于\(A\)，\(B\)两点，且\( \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}+3=0\)，其中\(O\)为坐标原点．
              \((1)\)求抛物线\(E\)的方程；
              \((2)\)设点\(N(-3,0)\)，记直线\(AN\)，\(BN\)的斜率分别为\(k_{1}\)，\(k_{2}\)，证明：\( \dfrac {1}{k_{1}^{2}}+ \dfrac {1}{k_{2}^{2}}- \dfrac {2}{k^{2}}\)为定值．
              难度：难
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            • 2．
              已知直线\(l\)的方程为\(y=x+2\)，点\(P\)是抛物线\(y^{2}=4x\)上到直线\(l\)距离最小的点，点\(A\)是抛物线上异于点\(P\)的点，直线\(AP\)与直线\(l\)交于点\(Q\)，过点\(Q\)与\(x\)轴平行的直线与抛物线\(y^{2}=4x\)交于点\(B\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求点\(P\)的坐标；
              \((\)Ⅱ\()\)证明直线\(AB\)恒过定点，并求这个定点的坐标．
              难度：难
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            • 3．
              已知抛物线\(x^{2}=2py(p > 0)\)的焦点为\(F\)，直线\(x=4\)与\(x\)轴的交点为\(P\)，与抛物线的交点为\(Q\)，且\(|QF|= \dfrac {5}{4}|PQ|\)．
              \((1)\)求抛物线的方程；
              \((2)\)如图所示，过\(F\)的直线\(l\)与抛物线相交于\(A\)，\(D\)两点，与圆\(x^{2}+(y-1)^{2}=1\)相交于\(B\)，\(C\)两点\((A,B\)两点相邻\()\)，过\(A\)，\(D\)两点分别作我校的切线，两条切线相交于点\(M\)，求\(\triangle ABM\)与\(\triangle CDM\)的面积之积的最小值．
              难度：难
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            • 4．
              如图，抛物线\(C\)：\(y^{2}=2px\)的焦点为\(F\)，抛物线上一定点\(Q(1,2)\)．
              \((1)\)求抛物线\(C\)的方程及准线\(l\)的方程；
              \((2)\)过焦点\(F\)的直线\((\)不经过\(Q\)点\()\)与抛物线交于\(A\)，\(B\)两点，与准线\(l\)交于点\(M\)，记\(QA\)，\(QB\)，\(QM\)的斜率分别为\(k_{1}\)，\(k_{2}\)，\(k_{3}\)，问是否存在常数\(λ\)，使得\(k_{1}+k_{2}=λk_{3}\)成立？若存在\(λ\)，求出\(λ\)的值；若不存在，说明理由．
              难度：难
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            • 5．
              在平面直角坐标系\(xOy\)中，已知抛物线\(x^{2}=2py(p > 0)\)上的点\(M(m,1)\)到焦点\(F\)的距离为\(2\)，
              \((1)\)求抛物线的方程；
              \((2)\)如图，点\(E\)是抛物线上异于原点的点，抛物线在点\(E\)处的切线与\(x\)轴相交于点\(P\)，直线\(PF\)与抛物线相交于\(A\)，\(B\)两点，求\(\triangle EAB\)面积的最小值．
              难度：难
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            • 6．
              已知抛物线\(C\)：\(y^{2}=2px(p > 0)\)的焦点为\(F\)，过\(F\)且倾斜角为\(60^{\circ}\)的直线\(l\)与抛物线\(C\)在第一、四象限分别交于\(A\)、\(B\)两点，与它的准线交于点\(P\)，则\( \dfrac {|AB|}{|AP|}=\) ______ ．
              难度：难
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            • 7．
              设抛物线的顶点在坐标原点，焦点\(F\)在\(y\)轴正半轴上，过点\(F\)的直线交抛物线于\(A\)，\(B\)两点，线段\(AB\)的长是\(8\)，\(AB\)的中点到\(x\)轴的距离是\(3\)．
              \((1)\)求抛物线的标准方程；
              \((2)\)设直线\(m\)在\(y\)轴上的截距为\(6\)，且与抛物线交于\(P\)，\(Q\)两点，连结\(QF\)并延长交抛物线的准线于点\(R\)，当直线\(PR\)恰与抛物线相切时，求直线\(m\)的方程．
              难度：难
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            • 8．
              已知抛物线\(E\)：\(y^{2}=4x\)的准线为\(l\)，焦点为\(F\)，\(O\)为坐标原点．
              \((1)\)求过点\(O\)，\(F\)，且与\(l\)相切的圆的方程；
              \((2)\)过\(F\)的直线交抛物线\(E\)于\(A\)，\(B\)两点，\(A\)关于\(x\)轴的对称点为\(A′\)，求证：直线\(A′B\)过定点．
              难度：难
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            • 9．
              已知抛物线\(E\)：\(y^{2}=2px(p > 0)\)的焦点过为\(F\)，过\(F\)且倾斜角为\( \dfrac {π}{4}\)的直线\(l\)被\(E\)截得的线段长为\(8\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求抛物线\(E\)的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)已知点\(C\)是抛物线上的动点，以\(C\)为圆心的圆过\(F\)，且圆\(C\)与直线\(x= \dfrac {1}{2}\)相交于\(A\)，\(B\)两点，求\(|FA|⋅|FB|\)的取值范围．
              难度：难
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            • 10． 已知点A(m，4)(m＞0)在抛物线x2=4y上，过点A作倾斜角互补的两条直线l1和l2，且l1，l2与抛物线另一个交点分别为B、C．
              (I)求证：直线BC的斜率为定值；
              (II)若抛物线上存在两点关于直线BC对称，求|BC|的取值范围．
              难度：难
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