知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．
如图，等边三角形$OAB$的边长为$8\sqrt{3}$，且其三个顶点均在抛物线$E:{{x}^{2}}=2py\left( p > 0 \right)$上$.$

$(1)$求抛物线$E$的方程；

$(2)$设动直线$l$与抛物线$E$相切于点$P$，与直线$y=-1$相交于点$Q$，以$PQ$为直径的圆是否恒过$y$轴上某定点$M$，若存在，求出$M$的坐标；若不存在，请说明理由．

难度：难

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3．

给出以下四个命题：

$①$动点$P$到两定点${F}_{1}\left(-2,0\right),{F}_{2}\left(2,0\right) $的距离之和为$4$，则点$P$的轨迹为椭圆；

$②P$为抛物线${{y}^{2}}=4x$上一点，$F$为焦点，定点$A\left(2,1\right) $，则$\left| PF \right|+\left| PA \right|$的最小值$3$；

$③$函数$f(x)=x\cos x-\sin x$在$\left(π,2π\right) $上单调递增；

$④$定义在$R$上的可导函数$f(x) $满足$f{{{'}}}\left(1\right)=0 $，$\left(x-1\right)f{{{'}}}\left(x\right) > 0 $，则$f(0)+f(2) > 2f(1)$

一定成立$.$其中，所有真命题的序号是．

难度：难

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4．
如图，已知抛物线$y^{2}=2px(p > 0)$的焦点恰好是椭圆$ \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)$的右焦点$F$，且两条曲线的交点连线也过焦点$F$，则该椭圆的离心率为___________．

难度：难

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5．抛物线x²+y=0的焦点坐标为 ______ ．

难度：难

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6．过抛物线y²=-4x的焦点作直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若x₁+x₂=-6，则|AB|为（　　）

A．8

B．10

C．6

D．4

难度：难

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7．若抛物线y²=2px的焦点与双曲线 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B3%7D$ -y²=1的右焦点重合，则抛物线上一点P（2，b）到抛物线焦点的距离是 ______ ．

难度：难

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8．
已知抛物线$y^{2}=2px(p > 0)$上有一点$Q(4,m)$到焦点$F$的距离为$5$，
$(1)$求$p$及$m$的值．
$(2)$过焦点$F$的直线$L$交抛物线于$A$，$B$两点，若$|AB|=8$，求直线$L$的方程．

难度：难

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9．

已知椭圆$ \dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+ \dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1 $$(a > b > 0)$的半焦距为$c(c > 0)$，左焦点为$F$，右顶点为$A$，抛物线${y}^{2}= \dfrac{15}{8}(a+c)x $与椭圆交于$B$、$C$两点，若四边形$ABFC$是菱形，则椭圆的离心率是$($　　$)$

A．$ \dfrac{8}{15} $

B．$ \dfrac{4}{15} $

C．$ \dfrac{2}{3} $

D．$ \dfrac{1}{2} $

难度：难

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10．
在平面直角坐标系$xOy$中，点$a$到点$F\left( 1,0 \right)$的距离比它到$y$轴的距离多$1$，记点$a$的轨迹为$C$．

$(1)$求轨迹为$C$的方程；

$(2)$设斜率为$k$的直线$l$过定点$p\left( -2,1 \right)$，求直线$l$与轨迹$C$恰好有一个公共点时$k$的取值范围．

难度：难

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