已知双曲线\( \dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}- \dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1\left(a > 0,b > 0\right) \)的左右焦点分别为\(F_{1}\)，\(F_{2}\)，\(P\)为双曲线上一点，且\(|PF_{1}|=2|PF_{2}|\)，若\(\cos \angle {{F}_{1}}P{{F}_{2}}=\dfrac{1}{4}\)，则该双曲线的离心率等于

\((1)\)已知随机变量\(X\)等可能地取\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(…\)，\(n\)，若\(P(X < 5)=0.2\)，则\(n\)的值为____．

\((2)\)在正方体\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，直线\(BC_{1}\)与平面\(A_{1}BD\)所成的角的正弦值是______．

\((3)\)知\(F\)是双曲线 \( \dfrac{x^{2}}{4}- \dfrac{y^{2}}{12}=1\)的左焦点，\(A(1,\sqrt{7})\)，\(P\)是双曲线右支上的动点，则\(|PF|+|PA|\)的最小值为___________

\((4)\)已知函数\(f(x)=\begin{cases} x^{2}+2x+a,x < 0, \\ \ln x,x > 0, \end{cases}\)其中\(a\)是实数，设\(A(x_{1},f(x_{1}))\)，\(B(x_{2},f(x_{2}))\)为该函数图象上的两点，且\(x_{1} < x_{2}.\)若函数\(f(x)\)的图象在点\(A\)，\(B\)处的切线重合，则实数\(a\)的取值范围是______．

已知\({{F}_{1}},{{F}_{2}}\)是双曲线\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > 0,b > 0)\)的两焦点，以线段\({{F}_{1}}{{F}_{2}}\)为边作正三角形\(M{{F}_{1}}{{F}_{2}}\)，若\(M{{F}_{1}}\)的中点在双曲线上\(m\)则双曲线的离心率是___________

设双曲线\(C\)：\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > 0,b > 0)\)的左右焦点分别为\(F_{1}\)，\(F_{2}\)，若在曲线\(C\)的右支上存在点\(P\)，使得\(\triangle PF_{1}F_{2}\)的内切圆半径为\(a\)，圆心记为\(M\)，又\(\triangle PF_{1}F_{2}\)的重心为\(G\)，满足\(MG\)平行于\(x\)轴，则双曲线\(C\)的离心率为(    )

已知抛物线\(y\)\({\,\!}^{2}=8\)\(x\)的焦点恰好是双曲线\(-\)\(=1\)的右焦点，则双曲线的渐近线方程为 ______．

方程\(\dfrac{{{x}^{2}}}{m+2}-\dfrac{{{y}^{2}}}{m-1}=1\)表示双曲线，则实数\(m\)的取值范围是\((\)    \()\)

设命题\(p\)：方程\(+\)\(=1\)表示双曲线；命题\(q\)：方程\(+\)\(=1\)表示焦点在\(x\)轴上的椭圆

\((\)Ⅰ\()\)若\(p\)为真，求\(m\)的取值范围；

\((\)Ⅱ\()\)若\(q\)为真，用\(m\)表示此椭圆的焦距；

已知椭圆的标准方程为，过点的双曲线的实轴的两端点恰好是椭圆的两焦点，求双曲线的标准方程．