知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知双曲线$ \dfrac {x^{2}}{a^{2}}- \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > 0,b > 0)$的离心率$e= \dfrac {2 \sqrt {3}}{3}$，过点$A(0,-b)$和点$B(a,0)$的直线与原点的距离为$ \dfrac { \sqrt {3}}{2}$，求此双曲线的方程．

难度：难

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2．

中心在原点的双曲线$C$的右焦点为$F\left( \dfrac{ \sqrt{6}}{2},0\right) $，渐近线方程为$y=\pm \sqrt{2}x$．

$(I)$求双曲线$C$的方程；

$(II)$直线$l:y=kx-1$与双曲线$C$交于$P,Q$两点，试探究，是否存在以线段$PQ$为直径的圆过原点$.$若存在，求出$k$的值，若不存在，请说明理由．

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3．设双曲线 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D-%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a，b＞0）的实轴长为4 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ，焦点到渐近线的距离为 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ．
（1）求此双曲线的方程；
（2）已知直线y= $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B3%7D$ x-2与双曲线的右支交于A，B两点，且在双曲线的右支上存在点C，使得 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOM%7D$ + $%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ =m $%20%5Coverrightarrow%20%7BOC%7D$ ，求m的值及点C的坐标．

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4．已知双曲线C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D-%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞0．b＞0）的离心率为 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ，虚轴端点与焦点的距离为 $%20%5Csqrt%20%7B5%7D$ ．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x²+y²=5上，求m的值．

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5．
已知双曲线$C$：$ \dfrac {x^{2}}{a^{2}}- \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1$经过点$(2,3)$，两条渐近线的夹角为$60^{\circ}$，直线$l$交双曲线于$A$、$B$两点．
$(1)$求双曲线$C$的方程；
$(2)$若$l$过原点，$P$为双曲线上异于$A$，$B$的一点，且直线$PA$、$PB$的斜率$k_{PA}$，$k_{PB}$均存在，求证：$k_{PA}⋅k_{PB}$为定值；
$(3)$若$l$过双曲线的右焦点$F_{1}$，是否存在$x$轴上的点$M(m,0)$，使得直线$l$绕点$F_{1}$无论怎样转动，都有$ \overrightarrow{MA}⋅ \overrightarrow{MB}=0$成立？若存在，求出$M$的坐标；若不存在，请说明理由．

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6．
在平面直角坐标系$xOy$中，双曲线$E$：$ \dfrac {x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1(a > 0)$的左右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，离心率为$ \dfrac {2 \sqrt {3}}{3}$，且经过右焦点$F_{2}$的直线$l$与双曲线的右支交于$A$、$B$两点．
$(1)$求双曲线$E$的方程；
$(2)$求$\triangle ABF_{1}$的面积的取值范围．

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7．

设$A$、$B$分别为双曲线$ \dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}- \dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1 (a > 0,b > 0)$的左右顶点，双曲线的实轴长为$4 \sqrt{3} $，焦点到渐近线的距离为$ \sqrt{3} $．

$(1)$求双曲线的方程；

$(2)$已知直线$y= \dfrac{ \sqrt{3}}{3}x-2 $与双曲线的右支交于$M$、$N$两点，且在双曲线的右支上存在点$D$，使$ \overset{→}{OM}+ \overset{→}{ON}=t \overset{→}{OD} $，求$t$的值及点$D$的坐标．

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8．已知点F₁，F₂为双曲线 $C%3Ax%5E%7B2%7D-%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%28b%3E0%29$ 的左、右焦点，过F₂作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线于点M，且 $%5Cangle%20MF_%7B1%7DF_%7B2%7D%3D30%5E%7B0%7D$ ，圆O的方程为x²+y²=b²．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若双曲线C上的点到两条渐近线的距离分别为d₁，d₂，求d₁•d₂的值；
(3)过圆O上任意一点P(x₀，y₀)作切线l交双曲线C于A，B两个不同点，求 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ 的值．

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9．双曲线的中心是原点O，它的虚轴长为 $2%20%5Csqrt%20%7B6%7D$ ，右焦点为F(c，0)(c＞0)，直线l： $x%3D%20%5Cfrac%20%7Ba%5E%7B2%7D%7D%7Bc%7D$ 与x轴交于点A，且|OF|=3|OA|．过点F的直线与双曲线交于P、Q两点．
(Ⅰ)求双曲线的方程；
(Ⅱ)若 $%20%5Coverrightarrow%20%7BAP%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BAQ%7D$ =0，求直线PQ的方程．

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10．已知等轴双曲线C的两个焦点F₁、F₂在直线y=x上，线段F₁F₂的中点是坐标原点，且双曲线经过点(3， $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B2%7D$ )．
(1)若已知下列所给的三个方程中有一个是等轴双曲线C的方程：①x²-y²= $%20%5Cfrac%20%7B27%7D%7B4%7D$ ；②xy=9；③xy= $%20%5Cfrac%20%7B9%7D%7B2%7D$ ．请确定哪个是等轴双曲线C的方程，并求出此双曲线的实轴长；
(2)现要在等轴双曲线C上选一处P建一座码头，向A(3，3)、B(9，6)两地转运货物．经测算，从P到A、从P到B修建公路的费用都是每单位长度a万元，则码头应建在何处，才能使修建两条公路的总费用最低？
(3)如图，函数y= $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B3%7D$ x+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bx%7D$ 的图象也是双曲线，请尝试研究此双曲线的性质，你能得到哪些结论？(本小题将按所得到的双曲线性质的数量和质量酌情给分)

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