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          共50条信息

            • 1．

               已知抛物线\(C:{{y}^{2}}=2x\)的焦点为\(F\)，平行于\(x\)轴的两条直线\(l\)\({\,\!}_{1}\)，\(l\)\({\,\!}_{2}\)分别交\(C\)于\(A,B\)两点，交\(C\)的准线于\(P,Q\)两点．

              \((I)\)若\(F\)在线段\(AB\)上，\(R\)是\(PQ\)的中点，证明：\(AR\)\(‖\)\(FQ\)

              \((II)\)若\(\triangle PQF\)的面积是\(\triangle ABF\)的面积的两倍，求\(AB\)中点的轨迹方程．

              难度：难
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            • 2．
              设\(O\)为坐标原点，动点\(M\)在椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{2}+y^{2}=1\)上，过\(M\)做\(x\)轴的垂线，垂足为\(N\)，点\(P\)满足\( \overrightarrow{NP}= \sqrt {2} \overrightarrow{NM}\)．
              \((1)\)求点\(P\)的轨迹方程；
              \((2)\)设点\(Q\)在直线\(x=-3\)上，且\( \overrightarrow{OP}⋅ \overrightarrow{PQ}=1.\)证明：过点\(P\)且垂直于\(OQ\)的直线\(l\)过\(C\)的左焦点\(F\)．
              难度：难
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            • 3．
              在平面直角坐标系\(xOy\)中，椭圆\(E\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)，焦距为\(2\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(E\)的方程．
              \((\)Ⅱ\()\)如图，该直线\(l\)：\(y=k_{1}x- \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)交椭圆\(E\)于\(A\)，\(B\)两点，\(C\)是椭圆\(E\)上的一点，直线\(OC\)的斜率为\(k_{2}\)，且看\(k_{1}k_{2=} \dfrac { \sqrt {2}}{4}\)，\(M\)是线段\(OC\)延长线上一点，且\(|MC|\)：\(|AB|=2\)：\(3\)，\(⊙M\)的半径为\(|MC|\)，\(OS\)，\(OT\)是\(⊙M\)的两条切线，切点分别为\(S\)，\(T\)，求\(∠SOT\)的最大值，并求取得最大值时直线\(l\)的斜率．
              难度：难
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            • 4．
              设\(A\)，\(B\)为曲线\(C\)：\(y= \dfrac {x^{2}}{4}\)上两点，\(A\)与\(B\)的横坐标之和为\(4\)．
              \((1)\)求直线\(AB\)的斜率；
              \((2)\)设\(M\)为曲线\(C\)上一点，\(C\)在\(M\)处的切线与直线\(AB\)平行，且\(AM⊥BM\)，求直线\(AB\)的方程．
              难度：难
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            • 5．
              设抛物线\(y^{2}=4x\)的焦点为\(F\)，准线为\(l.\)已知点\(C\)在\(l\)上，以\(C\)为圆心的圆与\(y\)轴的正半轴相切于点\(A.\)若\(∠FAC=120^{\circ}\)，则圆的方程为 ______ ．
              难度：难
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            • 6．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)，四点\(P_{1}(1,1)\)，\(P_{2}(0,1)\)，\(P_{3}(-1, \dfrac { \sqrt {3}}{2})\)，\(P_{4}(1, \dfrac { \sqrt {3}}{2})\)中恰有三点在椭圆\(C\)上．
              \((1)\)求\(C\)的方程；
              \((2)\)设直线\(l\)不经过\(P_{2}\)点且与\(C\)相交于\(A\)，\(B\)两点\(.\)若直线\(P_{2}A\)与直线\(P_{2}B\)的斜率的和为\(-1\)，证明：\(l\)过定点．
              难度：难
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            • 7．
              在直角坐标系\(xOy\)中，曲线\(C\)的参数方程为\(\begin{cases}x=3\cos θ \\ y=\sin θ\end{cases} (θ\)为参数\()\)，直线\(l\)的参数方程为\(\begin{cases}x=a+4t \\ y=1-t\end{cases} (t\)为参数\()\)．
              \((1)\)若\(a=-1\)，求\(C\)与\(l\)的交点坐标；
              \((2)\)若\(C\)上的点到\(l\)距离的最大值为\( \sqrt {17}\)，求\(a\)．
              难度：难
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            • 8．
              设圆\(x^{2}+y^{2}+2x-15=0\)的圆心为\(A\)，直线\(l\)过点\(B(1,0)\)且与\(x\)轴不重合，\(l\)交圆\(A\)于\(C\)，\(D\)两点，过\(B\)作\(AC\)的平行线交\(AD\)于点\(E\)．
              \((\)Ⅰ\()\)证明\(|EA|+|EB|\)为定值，并写出点\(E\)的轨迹方程；
              \((\)Ⅱ\()\)设点\(E\)的轨迹为曲线\(C_{1}\)，直线\(l\)交\(C_{1}\)于\(M\)，\(N\)两点，过\(B\)且与\(l\)垂直的直线与圆\(A\)交于\(P\)，\(Q\)两点，求四边形\(MPNQ\)面积的取值范围．
              难度：难
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