知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，在三棱柱$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$中，$AA_{1}⊥$底面$ABC$，$AB⊥AC$，$AC=AB=AA_{1}$，$E$、$F$分别是棱$BC$，$A_{1}A$的中点，$G$为棱$CC_{1}$上的一点，且$C_{1}F/\!/$平面$AEG$．
$($Ⅰ$)$求$ \dfrac {CG}{CC_{1}}$的值；
$($Ⅱ$)$求证：$EG⊥A_{1}C$；
$($Ⅲ$)$求二面角$A_{1}-AG-E$的余弦值．

难度：难

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2．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=4，BD=2 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ，PD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若二面角P-BC-D大小为 $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B4%7D$ ，求AP与平面PBC所成角的正弦值．

难度：难

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3．
如图，在长方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$AD=AA_{1}=1$，$AB=2$，点$E$在棱$AB$上移动．

$(1)$证明：$D_{1}E⊥A_{1}D$；
$(2)$当$E$为$AB$的中点时，求点$E$到面$ACD_{1}$的距离；
$(3)AE$等于何值时，二面角$D_{1}-EC-D$的大小为$ \dfrac {\pi }{4}$．

难度：难

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4．如图，在四棱锥$P-ABCD$中，底面$ABCD$为菱形，$∠BAD=60^{\circ}$，$Q$为$AD$的中点．
$(1)$若$PA=PD$，求证：平面$PQB⊥$平面$PAD$；
$(2)$点$M$在线段$PC$上，$PM= \dfrac {1}{3}PC$，若平面$PAD⊥$平面$ABCD$，且$PA=PD=AD=2$，求二面角$M-BQ-C$的大小．

难度：难

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5．如图，$E$是以$AB$为直径的半圆$O$上异于$A$、$B$的点，矩形$ABCD$所在的平面垂直于半圆$O$所在的平面，且$AB=2AD=2a$．
$($Ⅰ$)$求证：$EA⊥EC$；
$($Ⅱ$)$若异面直线$AE$和$DC$所成的角为$ \dfrac {π}{6}$，求平面$DCE$与平面$AEB$所成的锐二面角的余弦值．

难度：难

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6．在平面直角坐标系中，A（-2，3），B（3，-2），沿x轴把平面直角坐标系折成120°的二面角后，则线段AB的长度为（　　）

A． $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$

B． $2%20%5Csqrt%20%7B11%7D$

C． $3%20%5Csqrt%20%7B2%7D$

D． $4%20%5Csqrt%20%7B2%7D$

难度：难

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7．如图，P-ABC是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点，截面DEF∥底面ABC，且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等．（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）
（1）证明：P-ABC为正四面体；
（2）若PD=DA=
1
2
求二面角D-BC-A的大小；（结果用反三角函数值表示）
（3）设棱台DEF-ABC的体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由．

难度：难

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