知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．
在\(\Delta ABC\)中，角\(A,B,C\)的对边分别为\(a,b,c,\cos C=\dfrac{3}{10}\)．
\((1)\)若\(\overrightarrow{CA}\bullet \overrightarrow{CB}=\dfrac{9}{2}\)，求\(\Delta ABC\)的面积；
\((2)\)设向量\( \overset{⇀}{x}=(2\sin ⁡B,− \sqrt{3}), \overset{⇀}{y}=(\cos ⁡2B,1−2{\sin }^{2} \dfrac{B}{2}) \)，且\( \overset{⇀}{x}/\!/ \overset{⇀}{y} \)，求角\(B\)的值．

难度：难

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3．

用\(min\{ a{,}b\}\)表示实数\(a{,}b\)中的较小者，已知向量\(\overrightarrow{a}{,}\overrightarrow{b}{,}\overrightarrow{c}\)满足\({|}\overrightarrow{a}{|=}1{,}{|}\overrightarrow{b}{|=}2{,}\overrightarrow{a}{⋅}\overrightarrow{b}{=}0{,}\overrightarrow{c}{=}\lambda\overrightarrow{a}{+}\mu\overrightarrow{b}(\lambda{+}\mu{=}1)\)，则当\(min\{\overrightarrow{c}{⋅}\overrightarrow{a}{,}\overrightarrow{c}{⋅}\overrightarrow{b}\}\)取得最大值时，\({|}\overrightarrow{c}{|=}\)

A．\(\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\)

B．\(\dfrac{\sqrt{2}}{3}\)

C．\(1\)

D．\(\dfrac{\sqrt{5}}{2}\)

难度：难

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4．
\((1)\)命题\("∀{x}_{0}∈\left(0,+∞\right),\ln x+2\leqslant {e}^{{x}_{0}} "\)的否定是_______
\((2)\)已知函数\(f(x)=\begin{cases} & {{x}^{-{{m}^{2}}+2m+3}}(x\geqslant 1) \\ & (2m-1)x+m(x < 1) \end{cases}\)在\(R\)上是单调递增函数，则\(m\)的取值范围是__________________
\((3)\) 如图，四面体\(ABCD\)的每条棱长都等于\(2\)，点\(E\)，\(F\)分别为棱\(AB\)，\(AD\)的中点，则\(\left| \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{EF} \right|=\)_____； \(\left| \overset{→}{BC}- \overset{→}{EF}\right| \) ___________；
\((4)\)已知四棱锥\(P-ABCD\)的五个顶点都在球\(O\)的球面上，底面\(ABCD\)是矩形，平面\(PAD\)垂直于平面\(ABCD\)，在\(\triangle PAD\)中，\(PA=PD=2\)，\(∠APD=120^{\circ}\)，\(AB=4\)，则球\(O\)的表面积等于____　　

难度：难

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5．
\((\)Ⅰ\()\)已知\(| \overrightarrow{a}|=4,| \overrightarrow{b}|=2, \overrightarrow{a}\)与\( \overrightarrow{b}\)的夹角为\(120^{\circ}\)，求\(( \overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b})\cdot ( \overrightarrow{a}-3 \overrightarrow{b})\)．
\((\)Ⅱ\()\)已知\(\tan θ=2\)，计算：\( \dfrac {4\sin θ-2\cos θ}{5\cos θ+3\sin θ}\)．

难度：难

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6．
已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,\sqrt{3})\)，\(\overrightarrow{b}=(3,m)\)，且\(\overrightarrow{b}\)在\(\overrightarrow{a}\)上的投影为\(-3\)，则向量\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)夹角为____________．

难度：难

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7． \(18.\)如图，三棱柱 \(ABC\)\(\) \(A\)\({\,\!}_{1}\) \(B\)\({\,\!}_{1}\) \(C\)\({\,\!}_{1}\)中，侧面 \(BB\)\({\,\!}_{1}\) \(C\)\({\,\!}_{1}\) \(C\)为菱形， \(AB\)\(⊥\) \(B\)\({\,\!}_{1}\) \(C\)．

\((1)\)证明：\(AC\)\(=\)\(AB\)\({\,\!}_{1}\)；

\((2)\)若\(AC\)\(⊥\)\(AB\)\({\,\!}_{1}\)，\(∠\)\(CBB\)\({\,\!}_{1}=60^{\circ}\)，\(AB\)\(=\)\(BC\)，求二面角\(A\)\(\)\(A\)\({\,\!}_{1}\)\(B\)\({\,\!}_{1}\)\(C\)\({\,\!}_{1}\)的余弦值．

难度：难

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8．

设 \(OABC\) 是四面体，\({G}_{1} \) 是\(∆ABC \) 的重心，\(G\) 是\(O{G}_{1} \) 上一点，且\(OG=3G{G}_{1} \)，若\( \overrightarrow{OG}=x \overrightarrow{OA}+y \overrightarrow{OB}+z \overrightarrow{OC} \)，则\(\left(x,y,z\right) \) 为

A．\(\left( \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{4}\right) \)

B．\(\left( \dfrac{3}{4}, \dfrac{3}{4}, \dfrac{3}{4}\right) \)

C．\(\left( \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{3}\right) \)

D．\(\left( \dfrac{2}{3}, \dfrac{2}{3}, \dfrac{2}{3}\right) \)

难度：难

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9．

若\(|\) \(a\)\(|=1\)，\(|\) \(b\)\(|=2\)， \(c\)\(=\) \(a\)\(+\) \(b\)且 \(c\)\(⊥\) \(a\)，则向量 \(a\)与 \(b\)的夹角是\((\) \()\)

A．\(30^{\circ}\)

B．\(60^{\circ}\)

C．\(120^{\circ}\)

D．\(150^{\circ}\)

难度：难

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10．
．如图，在棱长为\(a\)的正方体\(ABCD-A\)\({\,\!}_{1}\)\(B\)\({\,\!}_{1}\)\(C\)\({\,\!}_{1}\)\(D\)\({\,\!}_{1}\)中，点\(E\)是棱\(D\)\({\,\!}_{1}\)\(D\)的中点，点\(F\)在棱\(B\)\({\,\!}_{1}\)\(B\)上，且满足\(B\)\({\,\!}_{1}\)\(F=\)\(2\)\(BF\)．

\((1)\)求证：\(EF\)\(⊥\)\(A\)\({\,\!}_{1}\)\(C\)\({\,\!}_{1};\)

\((2)\)在棱\(C\)\({\,\!}_{1}\)\(C\)上确定一点\(G\)，使\(A\)，\(E\)，\(G\)，\(F\)四点共面，并求此时\(C\)\({\,\!}_{1}\)\(G\)的长．

难度：难

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