如图，在正方体\(ABCD-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}\)中 ，点\(P\)在线段\(B{{C}_{1}}\)上运动，则下列判断中，正确命题的个数是

\(①\)  三棱锥\(A-C{{D}_{1}}P\)的体积不变； 

\(②{A}_{1}P/\!/平面AC{D}_{1} \)；

\(③\)平面\(P{B}_{1}D ⊥ \)平面 \(AC{D}_{1} \)；

\(④{{A}_{1}}P\)与\(A{{D}_{1}}\)所成角的范围是\([ \dfrac{π}{3}, \dfrac{π}{2}) \)．

已知\(α\)，\(β\)表示两个不同平面，直线\(m\)是\(α\)内一条直线，则“\(α/\!/β\)”是“\(m/\!/β\)”的

设\(m\)、\(n\)是两条不同的直线，\(α\)、\(β\)是两个不同的平面，给出下列四个命题：

\(①\)若\(m⊥α\)，\(n/\!/α\)，则\(m⊥n\)；\(②\)若\(m/\!/n\)，\(n/\!/α\)，则\(m/\!/α\)；\(③\)若\(m/\!/n\)，\(n/\!/β\)，\(m/\!/α\)，则\(α⊥β\)；\(④\)若\(m∩n=A\)，\(m/\!/α\)，\(m/\!/β\)，\(n/\!/α\)，\(n/\!/β\)，则\(α/\!/β.\)其中真命题的个数是___________；

\((1)\)已知向量\(a\)，\(b\)的夹角为\(60^{\circ}\)，\(|\)\(a\)\(|=2\)，\(|\)\(b\)\(|=1\)，则\(|\)\(a\)\(+\)\(2b\)\(|=\)________

\((2)\)设\(P\)表示一个点，\(m\)，\(n\)表示两条不重合的直线，\(α\)，\(β\)是两个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是_______

\(①P\in m,P\in \alpha \Rightarrow m\subset \alpha .\) 

\(②m\bigcap n=P,n\subset \beta \Rightarrow m\subset \beta \)

\(③m\parallel n\) \(,m\subset \alpha ,P\in n,P\in \alpha \Rightarrow n\subset \alpha \)

\(④\alpha \bigcap \beta =n,P\in \alpha ,P\in \beta \Rightarrow P\in n\)

\((3)\)已知直线\(l\)经过点\(A(-\cos \theta ,{{\sin }^{2}}\theta )\)和\(B(0,1)\)两个不同的点，则直线\(l\)倾斜角的取值范围是________．

\((4)\)已知数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)满足\({{a}_{1}}=1,{{a}_{n}}+{{a}_{n+1}}={{\left( \dfrac{1}{4} \right)}^{n}}(n\in {{N}^{*}}),{{S}_{n}}={{a}_{1}}+4{{a}_{2}}+{{4}^{2}}{{a}_{3}}+\cdot \cdot \cdot +{{4}^{n-1}}{{a}_{n}} .\)类比课本中推导等比数列前\(n\)项和公式的方法，可求得\(5{{S}_{n}}-{{4}^{n}}{{a}_{n}}=\)             

  \(①AF\bot PB\) \(②EF\bot PB\) \(③AF\bot BC\) \(④AE\bot \)平面\(PBC\)