在直线坐标系\(xOy\)中，曲线\(C_{1}\)的参数方程为\(\begin{cases}x=a\cos t \\ y=1+a\sin t\end{cases} \) \((t\)为参数，\(a > 0).\)在以坐标原点为极点，\(x\)轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线\({C}_{2} :ρ=4\cos θ\)．

\((1)\)说明\(C_{1}\)是哪一种曲线，并将\(C_{1}\)的方程化为极坐标方程．

\((2)\)直线\(C_{3}\)的极坐标方程为\(θ=α_{0}\)，其中\(α_{0}\)满足\(\tan α_{0}=2\)，若曲线\(C_{1}\)与\(C_{2}\)的公共点都在\(C_{3}\)上，求\(a\)．

已知曲线\({{C}_{1}}\)的参数方程是\(\begin{cases} & x=2\cos \varphi , \\ & y=3\sin \varphi \end{cases}(\varphi \)为参数\()\)，以坐标原点为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线\({{C}_{2}}\)的极坐标方程是\(\rho =2\)，正方形\(ABCD\)的顶点都在\({{C}_{2}}\)上，且\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)依逆时针次序排列，点\(A\)的极坐标为\((2,\dfrac{\pi }{3})\)．

\((1)\)求点\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)的直角坐标；

\((2)\)设\(P\)为\({{C}_{1}}\)上任意一点，求\(|PA{{|}^{2}}+|PB{{|}^{2}}+|PC{{|}^{2}}+|PD{{|}^{2}}\)的取值范围．

\((1)\)已知曲线\(C\)的极坐标方程是\(ρ=2\)，以极点为原点，极轴为\(x\)轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线\(l\)的参数方程为\(\begin{cases}x=1+t \\ y=2+ \sqrt{3}t\end{cases} \) \((t\)为参数\()\)．

\(①\)写出直线\(l\)的普通方程与曲线\(C\)的直角坐标方程；

\(②\)设曲线\(C\)经过伸缩变换\(\begin{cases}x{{'}}=x \\ y{{'}}= \dfrac{1}{2}y\end{cases} \)得到曲线\(C{{'}} \)，设       \(M(x,y)\)为\(C{{'}} \)上任意一点，

求\({x}^{2}- \sqrt{3}xy+2{y}^{2} \)的最小值，并求相应的点\(M\)的坐标．

\((2)\)设函数\(f(x)=\left|x-a\right| \)．

\(①\)当\(a=2\)时，解不等式\(f(x)\geqslant 7-|x-1|\)；

\(②\)若\(f(x)\leqslant 2\)的解集为\([-1,3]\)，\( \dfrac{1}{m}+ \dfrac{1}{2n}=a(m > 0,n > 0) \)，求证：\(m+4n\geqslant 2 \sqrt{2}+3 \)．

\((\)一\()\)【选修\(4-4\)：坐标系与参数方程】

在极坐标系中，已知圆\(C\)的圆心\(C(\sqrt{2},\dfrac{\pi }{4})\)，半径\(r=\sqrt{3}\)．

\((1)\)求圆\(C\)的直角坐标方程；

\((2)\)若\(\alpha \in [0,\dfrac{\pi }{4})\)，直线\(l\)的参数方程为\(\begin{cases} & x=2+t\cos \alpha \\ & y=2+t\sin \alpha \\ \end{cases}(t\)为参数\()\)，直线\(l\)交圆\(C\)于\(A\)、\(B\)两点，求弦长\(|AB|\)的取值范围．

\((\)二\()\)【选修\(4-5\)：不等式】

已知\(f(x)=|x+1|+|x-1|\)．

\((1)\)求不等式\(f(x) < 4\)的解集；

\((2)\)若不等式\(f(x)-|a+1| < 0\)有解，求\(a\)的取值范围．