知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos²θ=2asinθ（a＞0），过点P（-1，-2）的直线l的参数方程为 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20x%3D-1%2B%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7Dt%20%5C%5C%20y%3D-2%2B%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7Dt%5Cend%7Bcases%7D$ （t为参数），l与C交于A，B两点．
（1）求C的直角坐标方程和l的普通方程；
（2）若|PA|，|AB|，|PB|成等比数列，求a的值．

难度：难

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2．在直角坐标系xOy中，直线l₁：x=2，曲线 $C%EF%BC%9A%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7B%7D%5Coverset%7Bx%3D2cos%CF%95%7D%7By%3D2%2B2sin%CF%95%7D%5Cend%7Barray%7D$ （φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点M的极坐标为 $%283%EF%BC%8C%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B6%7D%29$ ．
（1）求直线l₁和曲线C的极坐标方程；
（2）在极坐标系中，已知射线 $%7Bl%7D_%7B2%7D%EF%BC%9A%5C%3B%CE%B8%3D%CE%B1%280%20%3C%20%CE%B1%20%3C%20%5Cfrac%7B%CF%80%7D%7B2%7D%29$ 与l₁，C的公共点分别为A，B，且 $%7COA%7C%5Ccdot%20%7COB%7C%3D8%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ，求△MOB的面积．

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3．已知曲线C₁的参数方程是 $%5Cbegin%7Bcases%7D%20%5Coverset%7Bx%7B%3D%7D2%5Ccos%20%5Ctheta%7D%7By%7B%3D%7D%5Csin%20%5Ctheta%7D%20%5C%5C%20%5Cend%7Bcases%7D$ （θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程是ρ=2sinθ．
（1）写出C₁的极坐标方程和C₂的直角坐标方程；
（2）已知点M₁、M₂的极坐标分别为 $%281%7B%2C%7D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%29$ 和（2，0），直线M₁M₂与曲线C₂相交于P，Q两点，射线OP与曲线C₁相交于点A，射线OQ与曲线C₁相交于点B，求 $%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B%7C%7DOA%7B%7B%7C%7D%7D%5E%7B2%7D%7D%7B%2B%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B%7C%7DOB%7B%7B%7C%7D%7D%5E%7B2%7D%7D$ 的值．

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4．
在直角坐标系$xOy$中，曲线$C_{1}： \begin{cases} \overset{x=3\cos \theta }{y=2\sin \theta }\end{cases}(θ$为参数$)$，在以$O$为极点，$x$轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线$C_{2}$：$ρ-2\cos θ=0$．
$(1)$求曲线$C_{2}$的普通方程；
$(2)$若曲线$C_{1}$上有一动点$M$，曲线$C_{2}$上有一动点$N$，求$|MN|$的最小值．

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5．已知曲线$C$的参数方程为$ \begin{cases}x=3+3\cos θ \\ y=3\sin θ\end{cases}(θ$是参数$)$，以原点$O$为极点，以$x$轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线$l$的极坐标方程为$θ= \dfrac {π}{4}(ρ∈R)$，曲线$C$与直线$l$相交于点$A$、$B$．
$($Ⅰ$)$ 将曲线$C$的方程化为普通方程，直线$l$的极坐标方程化为直角坐标方程；
$($Ⅱ$)$ 求弦$AB$的长．

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6．在直角坐标系xOy中，直线l₁的方程为y= $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ x，曲线C的参数方程为 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20x%3D1%2B%20%5Csqrt%20%7B3%7Dcos%CF%86%20%5C%5C%20y%3D%20%5Csqrt%20%7B3%7Dsin%CF%86%5Cend%7Bcases%7D$ （φ是参数，0≤φ≤π）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）分别写出直线l₁与曲线C的极坐标方程；
（2）若直线 $l_%7B2%7D%EF%BC%9A2%CF%81sin%28%CE%B8%2B%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B3%7D%29%2B3%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ =0，直线l₁与曲线C的交点为A，直线l₁与l₂的交点为B，求|AB|．

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7．
已知直线$l$的参数方程为$ \begin{cases} x=m+ \dfrac {1}{2}t \\ y= \dfrac { \sqrt {3}}{2}t\end{cases}(t$为参数$)$，以坐标原点为极点，以$x$轴正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆$C$的极坐标方程为$5\cos ^{2}θ+9\sin ^{2}θ= \dfrac {45}{\rho ^{2}}$，且直线$l$经过椭圆$C$的右焦点$F$．
$(1)$求椭圆$C$的内接矩形$PMNQ$面积的最大值；
$(2)$若直线$l$与椭圆$C$交于$A$，$B$两点，求$|FA|⋅|FB|$的值．

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8．
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的$x$轴的正半轴重合$.$直线$l$的参数方程是$ \begin{cases} \overset{x=-1+ \dfrac {3}{5}t}{y=-1+ \dfrac {4}{5}t}\end{cases}(t$为参数$)$，曲线$C$的极坐标方程为$ρ= \sqrt {2}\sin (θ+ \dfrac {π}{4}).$
$(1)$求曲线$C$的直角坐标方程；
$(2)$设直线$l$与曲线$C$相交于$M$、$N$两点，求$M$、$N$两点间的距离．

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9．在平面直角坐标系xOy中，圆C的极坐标方程为ρ=4，经过点P（1，2）的直线l的参数方程为 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Coverset%7Bx%3D1%2B%20%5Csqrt%20%7B3%7Dt%7D%7By%3D2%2Bt%7D%5Cend%7Bcases%7D$ （t为参数）．
（I）写出圆C的标准方程和直线l的普通方程；
（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．

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10．
在平面直角坐标系$xOy$中，圆$C$的参数方程为$ \begin{cases}x=4\cos θ \\ y=4\sin θ\end{cases}(θ$为参数$)$，倾斜角$a= \dfrac {π}{6}$的直线$l$经过点$P(1,2)$．
$(1)$写出圆$C$的标准方程和直线$l$的参数方程；
$(2)$设直线$l$与圆$C$相交于$A$、$B$两点，求$|PA|⋅|PB|$的值．

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