知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
在直角坐标系$xOy$中，直线$l$的参数方程为：$\begin{cases} & x=1+\dfrac{4}{5}t, \\ & y=1+\dfrac{3}{5}t. \end{cases}(t$为参数$)$，若以$O$为极点，$x$轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线$C$的极坐标方程为$\rho {{\sin }^{2}}\theta =2\sin (\dfrac{\pi }{2}-\theta )$，

$(1)$写出曲线$C$的直角坐标方程，并指明$C$是什么曲线；

$(2)$设直线$l$与曲线$C$相交于$A$，$B$两点，求$\left| AB \right|$的值；

$(3)$设点$P(1,1)$，求$\left| PA \right|\cdot \left| PB \right|$的值．

难度：难

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2．

在平面直角坐标系$xOy$中，直线$l$的参数方程为$\begin{cases}x=1+ \dfrac{1}{2}t \\ y= \dfrac{ \sqrt{3}}{2}t\end{cases} (t$为参数$)$，若以该直角坐标系的原点$O$为极点$x$轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线$C$的极坐标方程为$ρ\sin ^{2}θ-4\cos θ=0$．

$(1)$求直线$l$的普通方程与曲线$C$的直角坐标方程；

$(2)$已知直线$l$与曲线$C$交于$A$、$B$两点，设$F(1,0)$，求$\dfrac{1}{\left|FA\right|}+ \dfrac{1}{\left|FB\right|} $的值．

难度：难

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3．
在直角坐标系$xOy$中，直线$l$的参数方程为$ \begin{cases} x=3- \dfrac { \sqrt {2}}{2}t \\ y= \sqrt {5}- \dfrac { \sqrt {2}}{2}t\end{cases}(t$为参数$).$在极坐标系$($与直角坐标系$xOy$取相同的长度单位，且以原点$O$为极点，以$x$轴正半轴为极轴$)$中，圆$C$的方程为$ρ=2 \sqrt {5}\sin θ$．
$($Ⅰ$)$求圆$C$的直角坐标方程；
$($Ⅱ$)$设圆$C$与直线$l$交于点$A$、$B$，若点$P$的坐标为$(3, \sqrt {5})$，求$|PA|+|PB|$．

难度：难

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4．
平面直角坐标系$xoy$中，直线$l$的参数方程为$ \begin{cases} \overset{x=2- \dfrac {1}{2}t}{y=1+ \dfrac { \sqrt {3}}{2}t}\end{cases}(t{为参数})$，以$O$为极点，$x$轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线$C$的极坐标方程是$ρ^{2}(4\cos ^{2}θ+\sin ^{2}θ)=16$．
$(1)$写出直线$l$的普通方程与曲线$C$的参数方程；
$(2)$设$M(x,y)$为曲线$C$上任意一点，求$ \sqrt {3}x+ \dfrac {1}{2}y$的取值范围．

难度：难

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5．

在直角坐标系中，以原点为极点，$x$轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线$C$：$ρ$$\sin ^{2}$$θ$$=2$$a$$\cos $ $θ$$($$a$$ > 0)$，过点$P$$(-2,-4)$的直线$l$的参数方程为：$\begin{cases}x=-2+ \dfrac{ \sqrt{2}}{2}t \\ y=-4+ \dfrac{ \sqrt{2}}{2}t\end{cases} ($$t$为参数$)$，直线$l$与曲线$C$分别交于$M$，$N$两点．

$(1)$写出曲线$C$的直角坐标方程和直线$l$的普通方程；

$(2)$若$|$$PM$$|$，$|$$MN$$|$，$|$$PN$$|$成等比数列，求$a$的值．

难度：难

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6．在直角坐标系$xOy$中，曲线$C$的参数方程为$\begin{cases} x{=}3{\cos θ} \\ y{=}{\sin θ} \end{cases}\(θ$为参数$)$，直线$l$的参数方程为$\begin{cases} x{=}a{+}4t \\ y{=}1{-}t \end{cases}\(t$为参数$)$．
$(1)$若$a=-1$，求$C$与$l$的交点坐标；
$(2)$若$C$上的点到$l$距离的最大值为$\sqrt{17}$，求$a$．

难度：难

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7．
在极坐标系中，曲线$C$的方程为${ρ}^{2}\cos 2θ=9 $，点$P\left(2 \sqrt{3}, \dfrac{π}{6}\right) .$以极点$O$为原点，极轴为$x$轴的正半轴建立直角坐标系．

$($Ⅰ$)$求直线$OP$的参数方程的标准式和曲线$C$的直角坐标方程；

$($Ⅱ$)$若直线$OP$与曲线$C$交于$A$、$B$两点，求$ \dfrac{1}{\left|PA\right|}+ \dfrac{1}{\left|PB\right|} $的值．

难度：难

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8．
选修$4-4$：坐标系与参数方程选讲

在直角坐标系$xOy $中，曲线$C_{1}$的参数方程为$\begin{cases}x=- \dfrac{1}{2}t \\ y=2+ \dfrac{ \sqrt{3}}{2}t\end{cases} (t$为参数$)$，以原点为极点，以$x$轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线$C_{2}$的极坐标方程为$ρ= \dfrac{2}{ \sqrt{1+3{\sin }^{2}θ}} $．

$($Ⅰ$)$求曲线$C1$的普通方程与曲线$C2$的直角坐标方程；

$($Ⅱ$)$设点$M(0,2) $，曲线$C1$与曲线$C2$交于$A$，$B$，求$|MA|·|MB|$的值．

难度：难

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9．化直线l的参数方程 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20x%3D-3%2Bt%20%5C%5C%20y%3D1%2B%20%5Csqrt%20%7B3%7Dt%5Cend%7Bcases%7D$ ，（t为参数）为普通方程，并求倾斜角．

难度：难

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10．若直线的参数方程为 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Coverset%7Bx%3D1%2B3t%7D%7By%3D2-%20%5Csqrt%20%7B3%7Dt%7D%5Cend%7Bcases%7D$ （t为参数），则直线的倾斜角为（　　）

A．30°

B．60°

C．120°

D．150°

难度：难

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