已知函数\(f(x)=\dfrac{m\ln x+n}{{{e}^{x}}}\) \((m\)、\(n\)为常数，\(e= 2.718 28…\)是自然对数的底数\()\)，曲线\(y=f(x)\)在点\((1,f(1))\)处的切线方程是\(y=\dfrac{2}{e}\)．

\((1)\)求\(m\)、\(n\)的值；

\((2)\)求\(f(x)\)的最大值；

\((3)\)设\(g(x)={f}{{{'}}}(x)\cdot \dfrac{{{e}^{x}}\ln (x+1)}{2}\) \((\)其中\({f}{{{'}}}(x)\)为\(f(x)\)的导函数\()\)，证明：对任意\(x > 0\)，都有\(g(x) < 1+{{e}^{-2}}.\)  \((\)注：\({{\left[ \ln (x+1) \right]}^{\prime }}=\dfrac{1}{x+1})\)

已知数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)中，\({{a}_{1}}=1\)且\({{a}_{n+1}}={{a}_{n}}+2n+1\)，设数列\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)满足\({{b}_{n}}={{a}_{n}}-1\)，对任意正整数\(n\)，不等式\(\dfrac{1}{{{b}_{2}}}+\dfrac{1}{{{b}_{3}}}+\bullet \bullet \bullet +\dfrac{1}{{{b}_{n}}} < m\)均成立，则实数\(m\)的取值范围为           ．

已知函数\(f\left( x \right)=x-1-a\ln x\) 。

\((1)\)若\(f\left( x \right)\geqslant 0\)，求\(a\)的值；

\((2)\)设\(m\)为整数，且对于任意正整数\(n\)，\(\left( 1+\dfrac{1}{2} \right)\left( 1+\dfrac{1}{{{2}^{2}}} \right)\cdots \left( 1+\dfrac{1}{{{2}^{n}}} \right) < m\) ，求\(m\)的最小值。

已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且满足\(a_{n}+2S_{n}·S_{n-1}=0(n\geqslant 2)\)，\(a_{1}= \dfrac{1}{2}\)．

\((1)\)求证：\(\{ \dfrac{1}{S_{n}}\}\)是等差数列；

\((2)\)求\(a_{n}\)的表达式；

\((3)\)若\(b_{n}=2(1-n)a_{n}(n\geqslant 2)\)，求证：\(b\rlap{_{2}}{^{2}}+b\rlap{_{3}}{^{2}}+…+b\rlap{_{n}}{^{2}} < 1\)．

下列结论不正确的是(    )

\(①.\dfrac{1}{{{2}^{10}}}+\dfrac{1}{{{2}^{10}}+1}+\dfrac{1}{{{2}^{10}}+2}+\cdots +\dfrac{1}{{{2}^{11}}-1} > 1\)

\(②.\)若\(|a| < 1\)，则\(|a+b|-|a-b|\ > 2\)

\(③.\lg 9\cdot \lg 11 < 1\)

\(④.\)若\(x > 0,y > 0\)，则\(\dfrac{x+y}{1+x+y} < \dfrac{x}{1+x}+\dfrac{y}{1+y}\)

\((1)\)求证：\(\sqrt{6}+\sqrt{7} > 2\sqrt{2}+\sqrt{5}\)

\((2)\)已知\(a > 0\)，\(b > 0\)，且\(a+b > 2\)，求证：\( \dfrac{1+b}{a} \)和\( \dfrac{1+a}{b} \)中至少有一个小于\(2\)