知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
附加题：\((1)\)证明柯西不等式：\((a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})\geqslant (ac+bd)^{2}\)；
\((2)\)若\(a\)，\(b∈R_{+}\)且\(a+b=1\)，用柯西不等式求\(\sqrt{3a+1}+ \sqrt{3b+1} \)的最大值．

难度：难

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2．
若正实数\(x\)，\(y\)满足\(2x+y=2\)，则\(\dfrac{4{{x}^{2}}}{y+1}+\dfrac{{{y}^{2}}}{2x+2}\)的最小值是_____．

难度：难

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3．已知函数\(f(x)=4-|x|-|x-3|\)．

\((1)\)求不等式\(f\)\(\left( \left. x+ \dfrac{3}{2} \right. \right)\)\(\geqslant 0\)的解集；

\((2)\)若\(p\)，\(q\)，\(r\)为正实数，且\( \dfrac{1}{3p}\)\(+\)\( \dfrac{1}{2q}\)\(+\)\( \dfrac{1}{r}\)\(=4\)，求\(3p+2q+r\)的最小值．

难度：难

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4．
设\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(…\)，\(a_{n} > 0\)，\(\dfrac{n}{\dfrac{1}{1+{{a}_{1}}}+\dfrac{1}{1+{{a}_{2}}}+\cdots +\dfrac{1}{1+{{a}_{n}}}}-\dfrac{n}{\dfrac{1}{{{a}_{1}}}+\dfrac{1}{{{a}_{2}}}+\cdots +\dfrac{1}{{{a}_{n}}}}\geqslant 1\)．

难度：难

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5．
已知定义在\(R\)上的函数\(f\)\((\)\(x\)\()=|\)\(x\)\(+1|+|\)\(x\)\(-2|\)的最小值为\(a\)．

\((1)\)求\(a\)的值；

\((2)\)若\(p\)，\(q\)，\(r\)是正实数，且满足\(p\)\(+\)\(q\)\(+\)\(r\)\(=\)\(a\)，求证：\(p\)\({\,\!}^{2}+\)\(q\)\({\,\!}^{2}+\)\(r\)\({\,\!}^{2}\geqslant 3\)．

难度：难

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6．

设\(M=( \dfrac {1}{a}-1)( \dfrac {1}{b}-1)( \dfrac {1}{c}-1)\)满足\(a+b+c=1(\)其中\(a > 0\)，\(b > 0\)，\(c > 0)\)，则\(M\)的取值范围是\((\)　　\()\)

A．\([0, \dfrac {1}{8})\)

B．\([ \dfrac {1}{8},1)\)

C．\([1,8)\)

D．\([8,+∞)\)

难度：难

10．下列函数中， \(y\)的最小值为\(4\)的是\((\)　　\()\)

A．\(y\)\(=\) \(x\)\(+\)

B．\(y\)\(=\)

C．\(y\)\(=e\) \({\,\!}^{x}\)\(+4e^{-x}\)

D．\(y\)\(=\sin \) \(x\)\(+\)\((0 < \)\(x\)\( < \) \(π\)\()\)

难度：难

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