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          共50条信息

            • 1． 已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{n}= \dfrac {a^{n+1}-a^{-n-1}}{a-a^{-1}}(n∈N^{*})\)，\(a\neq -1\)，\(0\)，\(1\)，设\(b=a+ \dfrac {1}{a}\)．
              \((1)\)求证：\(a_{n+1}=ba_{n}-a_{n-1}(n\geqslant 2,n∈N^{*})\)；
              \((2)\)当\(n(n∈N^{*})\)为奇数时，\(a_{n}= \sum\limits_{i=0}^{ \frac {n-1}{2}}(-1)^{i}C \;_{ n-1 }^{ i }b^{n-2i}\)，猜想当\(n(n∈N^{*})\)为偶数时，\(a_{n}\)关于\(b\)的表达式，并用数学归纳法证明．
              难度：难
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            • 2． 已知m，n为正整数．
              （Ⅰ）用数学归纳法证明：当x＞-1时，（1+x）m≥1+mx；
              （Ⅱ）对于n≥6，已知(1-
              1
              n+3
              )n＜
              1
              2
              ，求证(1-
              m
              n+3
              )n＜(
              1
              2
              )m              ，m=1，2…，n；
              （Ⅲ）求出满足等式3n+4n+5n+…+（n+2）n=（n+3）n的所有正整数n．
              难度：难
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