用数学归纳法证明\(\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋯\left(n+n\right)={2}^{n}·1·3⋯\left(2n-1\right) (n∈N* )\)时，从“\(n=k\)到\(n=k+1\)”左边需增乘的代数式为(    )

一个与正整数\(n\)有关的命题，当\(n=2\)时命题成立，且由\(n=k\)时命题成立可以推得\(n=k+2\)时命题也成立，则 (    )

已知数列\(\left\{{b}_{n}\right\} \)是等差数列，\({b}_{1}=1,{b}_{1}+{b}_{2}+…+{b}_{10}=145 \)．

\((1)\)求数列\(\left\{{b}_{n}\right\} \)的通项公式\({b}_{n} \)；

\((2)\)设数列\(\left\{{a}_{n}\right\} \)的通项\({a}_{n}={\log }_{a}\left(1+ \dfrac{1}{{b}_{n}}\right) (\)其中\(a > 0\)且\(a\neq 1 )\)记\({S}_{n} \)是数列\(\left\{{a}_{n}\right\} \)的前\(n\)项和，试比较\({S}_{n} \)与\(\dfrac{1}{3}{\log }_{a}{b}_{n+1} \)的大小，并证明你的结论．

在数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)中，\({{a}_{n}}=\cos \dfrac{\pi }{3\times {{2}^{n-2}}}(n\in {{N}^{*}}).\)

\((1)\)试将\({{a}_{n+1}}\)表示为\({{a}_{n}}\)的函数关系式；

\((2)\)若数列\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)满足\({{b}_{n}}=1-\dfrac{2}{n\cdot n!}(n\in {{N}^{*}})\)，猜想\({{a}_{n}}\)与\({{b}_{n}}\)的大小关系，并证明你的结论．

\((1)\) 已知\(x\)，\(y\)的取值如表所示：

从散点图可以看出，\(y\)与\(x\)线性相关，若回归方程为\( \overset{\}{y} =1.46x+a\)，则实数\(a=\)______．

\((2)\)如果\(f\left(n\right)=1+ \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{3}+…+ \dfrac{1}{n}+ \dfrac{1}{n+1}…+ \dfrac{1}{{2}^{n}} (n∈N^{*})\)，那么\(f(k+1)-f(k)\)共有______项．

\((4)\)通过观察所给两等式的规律，\(①\sin ^{2}30^{\circ}+\sin ^{2}90^{\circ}+\sin ^{2}150^{\circ}= \dfrac{3}{2} \)；\(②\sin ^{2}5^{\circ}+\sin ^{2}65^{\circ}+\sin ^{2}125^{\circ}= \dfrac{3}{2} \)，请你写出一个\((\)包含上面两命题\()\)一般性的命题：______ ．

若不等式\(\dfrac{1}{n{+}1}+\ \dfrac{1}{n{+}2} +\ \dfrac{1}{n{+}3} +…+\dfrac{1}{3n{+}1} > \dfrac{a}{24}\) 对一切正整数\(n\)都成立，求正整数\(a\)的最大值，并证明你的结论．

函数列\(\{f_{n}(x)\}\)满足\(f_{1}(x)= \dfrac{x}{ \sqrt{1+x^{2}}}(x > 0)\)，\(f_{n+1}(x)=f_{1}[f_{n}(x)]\)．

\((1)\)求\(f\)\({\,\!}_{2}\)\((x)\)，\(f\)\({\,\!}_{3}\)\((x)\)；

\((2)\)猜想\(f\)\({\,\!}_{n}\)\((x)\)的表达式，并证明．

如果命题\(P(n)\)满足：\(①P(n)\)对于\(n=2\)时成立\(;②\)若\(P(n)\)对于\(n=k(k\in {{N}^{*}})\)时成立，那么它对\(n=k+2\)也成立，则下列结论正确的是(    )