知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知m，n为正整数．
（Ⅰ）用数学归纳法证明：当x＞-1时，（1+x）^m≥1+mx；
（Ⅱ）对于n≥6，已知 $%281-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bn%2B3%7D%29%5E%7Bn%7D%EF%BC%9C%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ，求证 $%281-%20%5Cfrac%20%7Bm%7D%7Bn%2B3%7D%29%5E%7Bn%7D%EF%BC%9C%28%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%29%5E%7Bm%7D$ ，m=1，2…，n；
（Ⅲ）求出满足等式3ⁿ+4ⁿ+5ⁿ+…+（n+2）ⁿ=（n+3）ⁿ的所有正整数n．

难度：难

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2．

用数学归纳法证明“对一切$n∈N_{+}$，都有$2^{n} > n^{2}-2$”这一命题，证明过程中应该验证的归纳奠基为$($ $)$

A．$n=1$时命题成立

B．$n=1$，$2$时命题都成立

C．$n=3$时命题成立

D．$n=1$，$2$，$3$时命题都成立

难度：难

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3．
用数学归纳法证明：$1+\dfrac{n}{2}\leqslant 1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots +\dfrac{1}{{{2}^{n}}}\leqslant \dfrac{1}{2}+n,(n\in {{N}^{*}})$。

难度：难

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4．用数学归纳法证明： $1%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%5E%7B2%7D%7D%2B%E2%80%A6%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%282%5E%7Bn%7D-1%29%5E%7B2%7D%7D%EF%BC%9C2-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%5E%7Bn%7D-1%7D%28n%E2%89%A52%29$ （n∈N^*）时第一步需要证明（　　）

A． $1%EF%BC%9C2-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2-1%7D$

B． $1%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%5E%7B2%7D%7D%EF%BC%9C2-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%5E%7B2%7D-1%7D$

C． $1%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%5E%7B2%7D%7D%EF%BC%9C2-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%5E%7B2%7D-1%7D$

D． $1%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B4%5E%7B2%7D%7D%EF%BC%9C2-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%5E%7B2%7D-1%7D$

难度：难

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5．用数学归纳法证明：$1+ \dfrac{1}{{2}^{2}}+ \dfrac{1}{{3}^{2}}+⋯+ \dfrac{1}{{\left({2}^{n}-1\right)}^{2}} < 2- \dfrac{1}{{2}^{n}-1}\left(n\geqslant 2\right) ( $$n$$∈N^{*})$时第一步需要证明

A．$1 < 2- \dfrac{1}{2-1} $

B．$1+ \dfrac{1}{{2}^{2}} < 2- \dfrac{1}{{2}^{2}-1} $

C．$1+ \dfrac{1}{{2}^{2}}+ \dfrac{1}{{3}^{2}} < 2- \dfrac{1}{{2}^{2}-1} $

D．$1+ \dfrac{1}{{2}^{2}}+ \dfrac{1}{{3}^{2}}+ \dfrac{1}{{4}^{2}} < 2- \dfrac{1}{{2}^{2}-1} $

难度：难

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6．

用数学归纳法证明：$1+ \dfrac {1}{2^{2}}+ \dfrac {1}{3^{2}}+…+ \dfrac {1}{(2^{n}-1)^{2}} < 2- \dfrac {1}{2^{n}-1}(n\geqslant 2)(n∈N^{*})$时第一步需要证明$($　　$)$

A．$1 < 2- \dfrac {1}{2-1}$

B．$1+ \dfrac {1}{2^{2}} < 2- \dfrac {1}{2^{2}-1}$

C．$1+ \dfrac {1}{2^{2}}+ \dfrac {1}{3^{2}} < 2- \dfrac {1}{2^{2}-1}$

D．$1+ \dfrac {1}{2^{2}}+ \dfrac {1}{3^{2}}+ \dfrac {1}{4^{2}} < 2- \dfrac {1}{2^{2}-1}$

难度：难

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