知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知正项数列\(\{a_{n}\}\)满足：\(4S_{n}= a_{ n }^{ 2 }+2a_{n}-3\)，其中\(S_{n}\)为数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和．
\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
\((2)\)设\(b_{n}= \dfrac {1}{ a_{ n }^{ 2 }-1}\)，求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．

难度：难

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2．
在首项都为\(2\)的数列\(\{a_{n}\}\)，\(\{b_{n}\}\)中，\(a_{2}=b_{2}=4\)，\(2a_{n+1}=a_{n}+a_{n+2}\)，\(b_{n+1}-b_{n} < 2^{n}+ \dfrac {1}{2}\)，\(b_{n+2}-b_{n} > 3×2^{n}-1\)，且\(b_{n}∈Z\)，则数列\(\{ \dfrac {nb_{n}}{a_{n}}\}\)的前\(n\)项和为 ______ ．

难度：难

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3．
已知数列\(\{\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=1,a_{n+1}= \dfrac {a_{n}}{a_{n}+2}\)，\(b_{n+1}=(n-λ)( \dfrac {1}{a_{n}}+1)(n∈N^{*}),b_{1}=-λ\)．
\((1)\)求证：数列\(\{ \dfrac {1}{a_{n}}+1\}\)是等比数列；
\((2)\)若数列\(\{b_{n}\}\)是单调递增数列，求实数\(λ\)的取值范围．

难度：难

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4．
已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且\(S_{n}=2n^{2}+n\)，\(n∈N\)，数列\(\{b_{n}\}\)满足\(a_{n}=4\log _{2}b_{n}+3\)，\(n∈N\)．
\((1)\)求\(a_{n}\)，\(b_{n}\)；
\((2)\)求数列\(\{a_{n}b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．

难度：难

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5．
已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且满足\(S_{n}=(-1)^{n}a_{n}+ \dfrac {1}{2^{n}}\)，设\(\{S_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(T_{n}\)，\(T_{2017}=\) ______ ．

难度：难

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6．
已知数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=1\)，\(a_{n}-a_{n-1}=n(n\geqslant 2,n∈N)\)，设\(b_{n}= \dfrac {1}{a_{n+1}}+ \dfrac {1}{a_{n+2}}+ \dfrac {1}{a_{n+3}}+…+ \dfrac {1}{a_{2n}}\)，若对任意的正整数\(n\)，当\(m∈[1,2]\)时，不等式\(m^{2}-mt+ \dfrac {1}{3} > b_{n}\)恒成立，则实数\(t\)的取值范围是 ______ ．

难度：难

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7．
若\(f(x)+f(1-x)=4\)，\(a_{n}=f(0)+f( \dfrac {1}{n})+…+f( \dfrac {n-1}{n})+f(1)(n∈N^{+})\)，则数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式为 ______ ．

难度：难

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8．
在数列\(\{a_{n}\}\)中，其前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且满足\(S_{n}=2n^{2}+n(n∈N^{*})\)，则\(a_{n}=\) ______ ．

难度：难

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9．
设数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}+3a_{2}+…+(2n-1)a_{n}=2n\)．
\((1)\)求\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
\((2)\)求数列\(\{ \dfrac {a_{n}}{2n+1}\}\)的前\(n\)项和．

难度：难

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10．
设\(S_{n}\)是数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和，已知\(a_{1}=3\)，\(a_{n+1}=2S_{n}+3\)．
\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
\((2)\)令\(b_{n}=(2n-1)a_{n}\)，求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．

难度：难

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