已知函数\(f(x)=A\sin (ωx+φ)(x∈R,A > 0,ω > 0,0 < φ < \dfrac{π}{2}) \)图象如图，\(P\)是图象的最高点，\(Q\)为图象与\(x\)轴的交点，\(O\)为原点\(.\)且\(\left| \overrightarrow{{OQ}} \right|{=}\dfrac{8}{3}\)，\(\left| \overrightarrow{{OP}} \right|{=}\dfrac{\sqrt{13}}{3}\)，\(\left| \overrightarrow{{PQ}} \right|{=}\sqrt{5}\)．

\((1)\)求函数\(y=f(x)\)的解析式；

\((2)\)将函数\(y=f(x)\)图象向右平移\(\dfrac{4}{3}\)个单位后得到函数\(y=g(x)\)的图象，当\(x∈[0,2]\)时，求函数\(h(x)=f(x)·g(x)\)的最小值及其对应的\(x\)的值．

设\(a=\dfrac{1}{2}\cos 2{}^\circ -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin 2{}^\circ \)，\(b=\dfrac{2\tan 15{}^\circ }{1+{{\tan }^{2}}15{}^\circ }\)，\(c=\sqrt{\dfrac{1-\cos 50{}^\circ }{2}}\)，则有\((\)   \()\)

求函数\(f\left(x\right)=2{\sin }^{2}x+2 \sqrt{3}\sin x·\cos x+1\left(x∈R\right) \)的值域，最小正周期及单调递增区间．

已知向量\(\overrightarrow{a}=(\sqrt{3}\sin x,\cos x),\ \ \overrightarrow{b}=(\cos x,\cos x)\) ，函数\(f(x)=2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}-1\)

\((1)\)求\(f(x)\)的单调递增区间；   

\((2)\)当\(x\in [\dfrac{\pi }{6},{ }\dfrac{\pi }{{2}}]\)时，若\(f(x)=1,\)求\(x\)的值。

已知\(\overrightarrow{a}=(\sin x,-\dfrac{1}{2})\)，\(\overrightarrow{b}=(\sqrt{3}\cos x+\sin x,1)\)，函数\(f(x)=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\)，\(\triangle ABC\)的内角\(A\)，\(B\)，\(C\)所对的边长分别为\(a\)，\(b\)，\(c\)．

\((1)\)若\(f(\dfrac{B+C}{2})=1\)，\(a=\sqrt{3}\)，\(b=1\)，求\(\triangle ABC\)的面积\(S\)；

\((2)\)若\(0 < \alpha < \dfrac{\pi }{4}\)，\(f(a)=\dfrac{3}{5}\)，求\(\cos 2α\)的值．

设\({a}=\dfrac{1}{2}\cos {{8}^{0}}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin {{8}^{0}},b=\dfrac{2\tan {{13}^{0}}}{1-{{\tan }^{2}}{{13}^{0}}},c=\sqrt{\dfrac{1-\cos {{52}^{0}}}{2}}\)，则\(a\)，\(b\)，\(c\)的大小关系为       \(.\)