知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知向量$ \overrightarrow{m}=( \sqrt {3}\sin \dfrac {x}{4},1)$，$ \overrightarrow{n}=(\cos \dfrac {x}{4},\cos ^{2} \dfrac {x}{4})$，记$f(x)= \overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{n}$．
$($Ⅰ$)$求$f(x)$的单调递减区间；
$($Ⅱ$)$若$f(a)= \dfrac {3}{2}$，求 $\cos ( \dfrac {2π}{3}-a)$的值；
$($Ⅲ$)$将函数$y=f(x)$的图象向右平移$ \dfrac {2π}{3}$个单位得到$y=g(x)$的图象，若函数$y=g(x)-k$在$[0, \dfrac {7π}{3}]$上有零点，求实数$k$的取值范围．

难度：难

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2．
设向量$ \overrightarrow{α}=( \sqrt {3}\sin 2x,\cos x+\sin x)$，$ \overrightarrow{β}=(1,\cos x-\sin x)$，其中$x∈R$，函数$f(x)= \overrightarrow{α}⋅ \overrightarrow{β}$．
$(1)$求$f(x)$的最小正周期；
$(2)$若$f(θ)=1$，其中$0 < θ < \dfrac {π}{2}$，求$\cos (θ- \dfrac {π}{6})$的值．

难度：难

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3．已知函数f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间；
（2）求使f（x）≥3成立的x的取值集合．

难度：难

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4．已知函数f（x）=4sin（x- $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B3%7D$ ）cosx+ $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）-m所在[0， $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B2%7D$ ]匀上有两个不同的零点x₁，x₂，求实数m的取值范围，并计算tan（x₁+x₂）的值．

难度：难

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5．已知函数 $f%28x%29%3D%20%5Csqrt%20%7B3%7Dsin2x-2cos%5E%7B2%7Dx$ ．
（1）求 $f%28%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B6%7D%29$ 的值；
（2）求f（x）的单调递增区间．

难度：难

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6．已知函数f（x）=2sin²（x+ $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B4%7D$ ）- $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ cos2x，x∈[ $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B4%7D$ ， $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B2%7D$ ]．
（Ⅰ）求f（x）的值域；
（Ⅱ）若不等式|f（x）-m|＜2在x∈[ $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B4%7D$ ， $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B2%7D$ ]上恒成立，求实数m的取值范围．

难度：难

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7．已知函数f（x）=sin²x+2 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ sinxcosx+3cos²x，x∈R．求：
（I）求函数f（x）的最小正周期；
（II）求函数f（x）在区间[- $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B6%7D%EF%BC%8C%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B3%7D$ ]上的值域．
（Ⅲ）描述如何由y=sinx的图象变换得到函数f（x）的图象．

难度：难

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8．
已知向量$ \overrightarrow{a}=(\cos \dfrac {3x}{2},\sin \dfrac {3x}{2})$，$ \overrightarrow{b}=(\cos \dfrac {x}{2},-\sin \dfrac {x}{2})$，函数$f(x)= \overrightarrow{a}⋅ \overrightarrow{b}-m| \overrightarrow{a}+ \overrightarrow{b}|+1$，$x∈[- \dfrac {π}{3}, \dfrac {π}{4}]$，$m∈R$．
$(1)$当$m=0$时，求$f( \dfrac {π}{6})$的值；
$(2)$若$f(x)$的最小值为$-1$，求实数$m$的值；
$(3)$是否存在实数$m$，使函数$g(x)=f(x)+ \dfrac {24}{49}m^{2}$，$x∈[- \dfrac {π}{3}, \dfrac {π}{4}]$有四个不同的零点？若存在，求出$m$的取值范围；若不存在，说明理由．

难度：难

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9．
已知函数f(x)＝cos2ωx＋sinωxcosωx－ (ω>0)的最小正周期为π．
(1)求ω值及f(x)的单调递增区间；
(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a＝1，b＝，f()＝，求角C的大小．

难度：难

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10．
在△ABC中，已知角A、B、C所对的三条边分别是a、b、c且满足b²=ac.

求证：0＜B≤；（2）求函数y=的值域.

难度：难

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