知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

3．

如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是（　　）

A．棱柱

B．棱台

C．棱柱与棱锥的组合体

D．不能确定

难度：难

4．

已知正四棱台的上、下底面边长分别为3和6，其侧面积等于两底面积之和，则该正四棱台的高是（　　）

A．

2

B．

%20%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D

C．

3

D．

%20%5Cfrac%7B7%7D%7B2%7D

难度：难

5．在直角三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若BC⊥AC，∠BAC= $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B3%7D$ ，AC=4，AA₁=4，M为AA₁中点，点P为BM中点，Q在线段CA₁上，且A₁Q=3QC，则PQ的长度为 ______ ．

难度：难

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6．三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=AC=2，侧面BCC₁B₁为矩形，∠A₁AB= $%20%5Cfrac%20%7B2%CF%80%7D%7B3%7D$ ，二面角A-BC-A₁的正切值为 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ．
（Ⅰ）求侧棱AA₁的长；
（Ⅱ）侧棱CC₁上是否存在点D，使得直线AD与平面A₁BC所成角的正切值为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B6%7D%7D%7B3%7D$ ，若存在，判断点的位置并证明；若不存在，说明理由．

难度：难

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7．在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为α，β，则有cos²α+cos²β=1．
类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCDA₁B₁C₁D₁中，对角线AC₁与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则cos²α+cos²β+cos²γ= ______ ．

难度：难

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8．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AB⊥BB₁，AC=BC=BB₁=2，D为AB的中点，且CD⊥DA₁．
（Ⅰ）求证：BB₁⊥平面ABC；
（Ⅱ）求证：BC₁∥平面CA₁D；
（Ⅲ）求三棱锥B₁-A₁DC的体积．

难度：难

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9．

正四棱锥P-ABCD，B₁为PB的中点，D₁为PD的中点，则两个棱锥A-B₁CD₁，P-ABCD的体积之比是（　　）

A．1：4

B．3：8

C．1：2

D．2：3

难度：难

10．在正方体上任意选择4个顶点，由这4个顶点可能构成如下几何体：①有三个面为全等的等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；②每个面都是等边三角形的四面体；③每个面都是直角三角形的四面体④有三个面为不全等的直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体．以上结论其中正确的是 ______ （写出所有正确结论的编号）．

难度：难

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