知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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1．已知函数f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间；
（2）求使f（x）≥3成立的x的取值集合．

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2．已知不等式f（x）=3 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ sin $%20%5Cfrac%20%7Bx%7D%7B4%7D$ •cos $%20%5Cfrac%20%7Bx%7D%7B4%7D$ + $%20%5Csqrt%20%7B6%7D$ cos² $%20%5Cfrac%20%7Bx%7D%7B4%7D$ - $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B6%7D%7D%7B2%7D$ +m≤0，对于任意的- $%20%5Cfrac%20%7B5%CF%80%7D%7B6%7D$ ≤x≤ $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B6%7D$ 恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

A．m≥ $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$

B．m≤ $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$

C．m≤- $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$

D．- $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ≤m≤ $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$

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3．若sinθ、cosθ是关于x的方程4x²+2mx+m=0的两个实根，则m的值为（　　）

A． $m%3D-1-%20%5Csqrt%20%7B5%7D$

B． $m%3D1-%20%5Csqrt%20%7B5%7D$

C． $m%3D1%C2%B1%20%5Csqrt%20%7B5%7D$

D． $m%3D-1%2B%20%5Csqrt%20%7B5%7D$

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4．在直角三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若BC⊥AC，∠BAC= $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B3%7D$ ，AC=4，AA₁=4，M为AA₁中点，点P为BM中点，Q在线段CA₁上，且A₁Q=3QC，则PQ的长度为 ______ ．

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5．三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=AC=2，侧面BCC₁B₁为矩形，∠A₁AB= $%20%5Cfrac%20%7B2%CF%80%7D%7B3%7D$ ，二面角A-BC-A₁的正切值为 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ．
（Ⅰ）求侧棱AA₁的长；
（Ⅱ）侧棱CC₁上是否存在点D，使得直线AD与平面A₁BC所成角的正切值为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B6%7D%7D%7B3%7D$ ，若存在，判断点的位置并证明；若不存在，说明理由．

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6．在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为α，β，则有cos²α+cos²β=1．
类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCDA₁B₁C₁D₁中，对角线AC₁与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则cos²α+cos²β+cos²γ= ______ ．

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7．

正四棱锥P-ABCD，B₁为PB的中点，D₁为PD的中点，则两个棱锥A-B₁CD₁，P-ABCD的体积之比是（　　）

A．1：4

B．3：8

C．1：2

D．2：3

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8．
在直角坐标系xoy中,直线L的方程为x-y+4=0,曲线C的参数方程为
（I）已知在极坐标（与直角坐标系xoy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴）中,点P的极坐标为,判断点P与直线L的位置关系；
（II）设点Q是曲线C上的一个动点,求它到直线L的距离的最小值

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9．

设数列的前n项和为，已知.

（1）求数列的通项公式；

（2）令 .用数学归纳法证明:

；

（3）设数列的前n项和为，若存在整数m,使对任意且，都有成立，求m的最大值.

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