知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图所示，四棱锥P-ABCD的侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点，PC= $%20%5Csqrt%20%7B6%7D$ ．
（Ⅰ）求证：PC⊥AD；
（Ⅱ）求三棱锥M-PAB的体积．

难度：难

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2．如图，四棱锥P-ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．
（1）求证：PC⊥AD；
（2）求点D到平面PAM的距离．

难度：难

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3．
如图，三棱柱$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$中，侧棱垂直底面，$∠ACB=90^{\circ}$，$AC=BC= \dfrac {1}{2}AA_{1}$，$D$是棱$AA_{1}$的中点．
$($Ⅰ$)$证明：平面$BDC_{1}⊥$平面$BDC$
$($Ⅱ$)$平面$BDC_{1}$分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．

难度：难

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4．三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=AC=2，侧面BCC₁B₁为矩形，∠A₁AB= $%20%5Cfrac%20%7B2%CF%80%7D%7B3%7D$ ，二面角A-BC-A₁的正切值为 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ．
（Ⅰ）求侧棱AA₁的长；
（Ⅱ）侧棱CC₁上是否存在点D，使得直线AD与平面A₁BC所成角的正切值为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B6%7D%7D%7B3%7D$ ，若存在，判断点的位置并证明；若不存在，说明理由．

难度：难

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5．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AB⊥BB₁，AC=BC=BB₁=2，D为AB的中点，且CD⊥DA₁．
（Ⅰ）求证：BB₁⊥平面ABC；
（Ⅱ）求证：BC₁∥平面CA₁D；
（Ⅲ）求三棱锥B₁-A₁DC的体积．

难度：难

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6．
已知椭圆的离心率为，过右顶点的直线与椭圆相交于、两点，且.

（1）求椭圆和直线的方程；

（2）记曲线在直线下方的部分与线段AB所围成的平面区域（含边界）为．若曲线与有公共点，试求实数的最小值．

难度：难

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7．
已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，左、右焦点分别为F₁、F₂，点P(2，)，点F₂在线段PF₁的中垂线上．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于M、N两点，直线F₂M与F₂N的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝π，试问直线l是否过定点？若过，求该定点的坐标．

难度：难

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8．
已知点为圆周的动点，过点作轴，垂足为，设线段的中点为，记点的轨迹方程为，点

(1)求动点的轨迹方程;

(2)若斜率为的另一个交点为，求面积的最大值及此时直线的方程；

(3)是否存在方向向量的直线交与两个不同的点，且有？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。

难度：难

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9．
已知椭圆的焦点为，抛物线与椭圆在第一象限的交点为，若。

(1)求的面积；

(2)求此抛物线的方程。

难度：难

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10．
在直角坐标系xoy中,直线L的方程为x-y+4=0,曲线C的参数方程为
（I）已知在极坐标（与直角坐标系xoy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴）中,点P的极坐标为,判断点P与直线L的位置关系；
（II）设点Q是曲线C上的一个动点,求它到直线L的距离的最小值

难度：难

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