知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知函数$g(x)= \dfrac {1}{x\sin \theta }+\ln x$在$[1,+∞)$上为增函数，且$θ∈(0,π)$，$f(x)=mx- \dfrac {m-1}{x}-\ln x(m∈R)$．
$($Ⅰ$)$求$θ$的值；
$($Ⅱ$)$若$f(x)-g(x)$在$[1,+∞)$上为单调函数，求$m$的取值范围；
$($Ⅲ$)$设$h(x)= \dfrac {2e}{x}$，若在$[1,e]$上至少存在一个$x_{0}$，使得$f(x_{0})-g(x_{0}) > h(x_{0})$成立，求$m$的取值范围．

难度：较难

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2．
已知函数$f(x)=|1- \dfrac {a}{x}|(x\neq 0$，常数$a∈R)$．
$(1)$讨论函数$f(x)$的奇偶性，并说明理由；
$(2)$当$a > 0$时，研究函数$f(x)$在$x∈(0,+∞)$内的单调性．

难度：较易

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3．已知函数 $f%28x%29%3D-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7Bx%7D%28x%EF%BC%9E0%29$
（1）判断f（x）在（0，+∞）上的增减性，并证明你的结论
（2）解关于x的不等式f（x）＞0
（3）若f（x）+2x≥0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

难度：较易

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4．已知函数f（x）=-x²+ax+1-lnx．
（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若f（x）在区间（0， $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ）上是减函数，求实数a的取值范围．

难度：较难

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5．
已知函数$f(x)=x^{2}+2x\tan θ-1$，$θ∈(- \dfrac {π}{2}, \dfrac {π}{2}).$
$($Ⅰ$)$若$f(x)$在$x∈[-1, \sqrt {3}]$上为单调函数，求$θ$的取值范围；
$($Ⅱ$)$若当$θ∈[- \dfrac {π}{3}, \dfrac {π}{3}]$时，$y=f(x)$在$[-1, \sqrt {3}]$上的最小值为$g(θ)$，求$g(θ)$的表达式．

难度：较易

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6．
设函数$f(x)=x+ \dfrac {1}{x}+a$为定义在$(-∞,0)∪(0,+∞)$上的奇函数．
$(1)$求实数$a$的值；
$(2)$判断函数$f(x)$在区间$(a+1,+∞)$上的单调性，并用定义法证明．

难度：难

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7．
已知函数$f(x)=\ln x+x^{2}-2ax+1(a$为常数$)$．
$(1)$讨论函数$f(x)$的单调性；
$(2)$若存在$x_{0}∈(0,1]$，使得对任意的$a∈(-2,0]$，不等式$2me^{a}(a+1)+f(x_{0}) > a^{2}+2a+4($其中$e$为自然对数的底数$)$都成立，求实数$m$的取值范围．

难度：难

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8．利用单调函数的定义证明：函数f（x）=x+ $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7Bx%7D$ 在区间 $%280%EF%BC%8C%20%5Csqrt%20%7B3%7D%29$ 上是减函数．

难度：较易

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9．已知函数f（x）=-x²+2x．
（1）证明：f（x）在[1，+∞）上是减函数；
（2）当x∈[-5，2]时，求f（x）的最大值和最小值．

难度：较易

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10．已知函数f（x）=2^x+2^ax+b，且f（1）= $%20%5Cfrac%20%7B5%7D%7B2%7D$ ，f（2）= $%20%5Cfrac%20%7B17%7D%7B4%7D$ ．
（1）求a，b；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）试判断函数在（-∞，0]上的单调性，并证明；
（4）求函数f（x）的最小值．

难度：较易

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