知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数 $\text{[math]}$ ，
（Ⅰ）证明f（x）在[1，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）求f（x）在[1，4]上的最大值及最小值．

难度：中等

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2．已知函数 $f%28x%29%3D%20%5Cfrac%20%7Bax%2Bb%7D%7Bx%5E%7B2%7D%2B1%7D$ 是定义在（-1，1）上是奇函数，且 $f%28%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%29%3D%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B5%7D$ ．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明．

难度：较易

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3．已知y=f（x）是定义在R上的奇函数．当x＜0时．f（x）=1+2^x
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）画出函数f（x）的图象；
（3）写出函数f（x）的单调区间及值域；
（4）求使f（x）＞a恒成立的实数a的取值范围．

难度：较易

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4．已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x²+x．
（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）若h（x）=g（x）-λf（x）+1在[-1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．

难度：较易

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5．已知函数 $f%28x%29%3Dx%5E%7B-k%5E%7B2%7D%2Bk%2B2%7D$ （k∈Z）在（0，+∞）上为增函数．
（1）求k值，并写出相应的f（x）的解析式；
（2）对于（1）中得到的函数f（x），试判断是否存在正实数m，使得函数g（x）=1-mf（x）+（2m-1）x在区间[-1，2]上的值域为 $%5B-4%EF%BC%8C%20%5Cfrac%20%7B17%7D%7B8%7D%5D$ ？若存在，求出m值；若不存在，请说明理由．

难度：较易

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6．已知函数f（x）=2|x-1|-x+1．
（1）请在所给的平面直角坐标系中画出函数f（x）的图象；
（2）根据函数f（x）的图象回答下列问题：
①求函数f（x）的单调区间；
②求函数f（x）的值域；
③求关于x的方程f（x）=2在区间[0，2]上解的个数．
（回答上述3个小题都只需直接写出结果，不需给出演算步骤）

难度：较易

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7．已知函数f（x）=2^x+2^-x．（x∈R）
（1）用单调函数定义证明f（x）在[0，+∞）单调递增；
（2）记f（x）在闭区间[t，t+1]上的最小值为g（t），求g（t）的表达式．

难度：较易

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8．已知函数f（x）= $%20%5Cfrac%20%7Bb%7D%7Bx-a%7D$ 的图象过点A（0，- $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B2%7D$ ），B（3，3）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）判断函数f（x）在（2，+∞）上的单调性，并用单调性的定义加以证明；
（Ⅲ）若m，n∈（2，+∞）且函数f（x）在[m，n]上的值域为[1，3]，求m+n的值．

难度：较易

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9．设h（x）=x+
m
x
，x∈[
1
4
，5]，其中m是不等于零的常数，
（1）m=1时，直接写出h（x）的值域；
（2）求h（x）的单调递增区间；
（3）已知函数f（x）（x∈[a，b]），定义：f₁（x）=nin{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f₂（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），其中，min{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最小值，min{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最大值．例如：f₁（x）=cosx，x∈[0，π]，则，f₂（x）=1，x∈[0，π]，
（理）当m=1时，设M（x）=
h(x)+h(4x)
2
+
|h(x)-h(4x)|
2
，不等式t≤M₁（x）-M₂（x）≤n恒成立，求t，n的取值范围；
（文）当m=1时，|h₁（x）-h₂（x）|≤n恒成立，求n的取值范围．

难度：中等

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10．已知幂函数f（x）=x^{（2k-1）（3-k）}（k∈z）是偶函数且在（0，+∞）上为增函数．
（1）求f（x）的解析式．
（2）求x∈[-1，1]时，函数g（x）=f（x）-mx是单调函数，求m的取值范围．

难度：中等

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