知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知函数$f(x)$对任意$x$，$y∈R$，满足$f(x)+f(y)=f(x+y)+2$，当$x > 0$时，$f(x) > 2$．
$(1)$求证：$f(x)$在$R$上是增函数；
$(2)$当$f(3)=5$时，解不等式：$f(a^{2}-2a-2) < 3$．

难度：较易

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2．
记函数$f(x)$的定义域为$D$，如果存在实数$a$，$b$使得$f(a-x)+f(a+x)=b$对任意满足$a-x∈D$且$a+x∈D$的$x$恒成立，则称$f(x)$为$Ψ$函数．
$(1)$设函数$f(x)= \dfrac {1}{x}-1$，试判断$f(x)$是否为$Ψ$函数，并说明理由；
$(2)$设函数$g(x)= \dfrac {1}{2^{x}+t}$，其中常数$t\neq 0$，证明$g(x)$是$Ψ$函数；
$(3)$若$h(x)$是定义在$R$上的$Ψ$函数，且函数$h(x)$的图象关于直线$x=m(m$为常数$)$对称，试判断$h(x)$是否为周期函数？并证明你的结论．

难度：较易

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3．
若存在常数$k(k > 0)$，使得对定义域$D$内的任意$x_{1}$，$x_{2}(x_{1}\neq x_{2})$，都有$|f(x_{1})-f(x_{2})|\leqslant k|x_{1}-x_{2}|$成
立，则称函数$f(x)$在其定义域 $D$上是“$k-$利普希兹条件函数”．
$(1)$若函数$f(x)= \sqrt {x}$，$(1\leqslant x\leqslant 4)$是“$k-$利普希兹条件函数”，求常数$k$的最小值；
$(2)$判断函数$f(x)=\log _{2}x$ 是否是“$2-$利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；
$(3)$若$y=f(x)(x∈R$ $)$是周期为$2$的“$1-$利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数$x_{1}$，$x_{2}$，都有
$|f(x_{1})-f(x_{2})|\leqslant 1$．

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4．对于函数f（x），若存在实数m，使得f（x+m）-f（m）为R上的奇函数，则称f（x）是位差值为m的“位差奇函数”．
（1）判断函数f（x）=2x+1和g（x）=2^x是否为位差奇函数？说明理由；
（2）若f（x）=sin（x+φ）是位差值为 $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B4%7D$ 的位差奇函数，求φ的值；
（3）若f（x）=x³+bx²+cx对任意属于区间 $%5B-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%EF%BC%8C%2B%E2%88%9E%29$ 中的m都不是位差奇函数，求实数b，c满足的条件．

难度：较易

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5．
对于定义域为$R$的函数$g(x)$，若函数$\sin [g(x)]$是奇函数，则称$g(x)$为正弦奇函数$.$已知$f(x)$是单调递增的正弦奇函数，其值域为$R$，$f(0)=0$．
$(1)$已知$g(x)$是正弦奇函数，证明：“$u_{0}$为方程$\sin [g(x)]=1$的解”的充要条件是“$-u_{0}$为方程$\sin [g(x)]=-1$的解”；
$(2)$若$f(a)= \dfrac {π}{2}$，$f(b)=- \dfrac {π}{2}$，求$a+b$的值；
$(3)$证明：$f(x)$是奇函数．

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6．
若函数$f(x)$满足：对于任意正数$s$，$t$，都有$f(s) > 0$，$f(t) > 0$，且$f(s)+f(t) < f(s+t)$，则称函数$f(x)$为“$L$函数”．
$(1)$试判断函数$f_{1}(x)=x^{2}$与$f_{2}(x)=x^{ \frac {1}{2}}$是否是“$L$函数”；
$(2)$若函数$g(x)=3^{x}-1+a(3^{-x}-1)$为“$L$函数”，求实数$a$的取值范围；
$(3)$若函数$f(x)$为“$L$函数”，且$f(1)=1$，求证：对任意$x∈(2^{k-1},2^{k})(k∈N*)$，都有$f(x)-f( \dfrac {1}{x}) > \dfrac {x}{2}- \dfrac {2}{x}$．

难度：较易

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7．
已知集合$M$是满足下列性质的函数$f(x)$的全体：在定义域内存在实数$t$，使得$f(t+2)=f(t)+f(2)$．
$(1)$判断$f(x)=3x+2$是否属于集合$M$，并说明理由；
$(2)$若$f(x)=\lg \dfrac {a}{x^{2}+2}$属于集合$M$，求实数$a$的取值范围；
$(3)$若$f(x)=2^{x}+bx^{2}$，求证：对任意实数$b$，都有$f(x)∈M$．

难度：较易

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8．
对于函数$f(x)$，若存在实数$m$，使得$f(x+m)-f(m)$为$R$上的奇函数，则称$f(x)$是位差值为$m$的“位差奇函数”．
$(1)$判断函数$f(x)=2x+1$和$g(x)=2^{x}$是否为位差奇函数？说明理由；
$(2)$若$f(x)=\sin (x+φ)$是位差值为$ \dfrac {π}{4}$的位差奇函数，求$φ$的值；
$(3)$若$f(x)=x^{3}+bx^{2}+cx$对任意属于区间$[- \dfrac {1}{2},+∞)$中的$m$都不是位差奇函数，求实数$b$，$c$满足的条件．

难度：较易

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9．已知f（x），x∈R是有界函数，即存在M＞0使得|f（x）|≤M恒成立．
（1）F（x）=f（x+1）-f（x）是有界函数，则f（x），x∈R是否是有界函数？说明理由；
（2）判断f₁（x）= $%20%5Cfrac%20%7B4x%7D%7Bx%5E%7B2%7D-2x%2B3%7D$ ，f₂（x）=9^x-2•3^x是否是有界函数？
（3）有界函数f（x），x∈R满足f（x+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B4%7D$ ）+f（x+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ ）=f（x）+f（x+ $%20%5Cfrac%20%7B7%7D%7B12%7D$ ），f（x），x∈R是否是周期函数，请说明理由．

难度：中等

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