知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
如果\(y=f(x)\)的定义域为\(R\)，对于定义域内的任意\(x\)，存在实数\(a\)使得\(f(x+a)=f(-x)\)成立，则称此函数具有“\(P(a)\)性质”\(.\)给出下列命题：
\(①\)函数\(y=\sin x\)具有“\(P(a)\)性质”；
\(②\)若奇函数\(y=f(x)\)具有“\(P(2)\)性质”，且\(f(1)=1\)，则\(f(2015)=1\)；
\(③\)若函数\(y=f(x)\)具有“\(P(4)\)性质”，图象关于点\((1,0)\)成中心对称，且在\((-1,0)\)上单调递减，则\(y=f(x)\)在\((-2,-1)\)上单调递减，在\((1,2)\)上单调递增；
\(④\)若不恒为零的函数\(y=f(x)\)同时具有“\(P(0)\)性质”和“\(P(3)\)性质”，且函数\(y=g(x)\)对\(∀x_{1}\)，\(x_{2}∈R\)，都有\(|f(x_{1})-f(x_{2})|\geqslant |g(x_{1})-g(x_{2})|\)成立，则函数\(y=g(x)\)是周期函数．
其中正确的是 ______ \((\)写出所有正确命题的编号\()\)．

难度：中等

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2．

函数\(f(x)\)在\((-∞,+∞)\)单调递减，且为奇函数\(.\)若\(f(1)=-1\)，则满足\(-1\leqslant f(x-2)\leqslant 1\)的\(x\)的取值范围是\((\)　　\()\)

A．\([-2,2]\)

B．\([-1,1]\)

C．\([0,4]\)

D．\([1,3]\)

难度：较易

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3．
下列四个命题

\(①\)已知函数\(f(x+1)=x^{2}\)，则\(f(e)=(e-1)^{2}\)；

\(②\)函数\(f(x)\)的值域为\((-2,2)\)，则函数\(f(x+2)\)的值域为\((-4,0)\)；．

\(③\)函数\(y=2x(x∈N)\)的图象是一条直线；

\(④\)已知\(f(x)\)、\(g(x)\)是定义在\(R\)上的两个函数，对任意\(x\)，\(y∈R\)满足关系式\(f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·g(x)\)，且\(f(0)=0\)，当\(x\neq 0\)时，\(f(x)·g(x)\neq 0\)，则函数\(f(x)\)、\(g(x)\)都是奇函数\(.\)其中错误的命题是________。\((\)只填写序号\()\)

难度：难

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4．

\((1)\)若函数\(y{=}2^{{-}{|}x{+}3}{|}\)在\(({-∞}{,}t)\)上是单调增函数，则实数\(t\)的取值范围为______ ．

\((2)\)已知\(a{ > }0\)，则\(\dfrac{(a{+}1)^{2}}{a}\)的最小值为______．

\((3)\)某班共\(50\)人，其中\(21\)人喜爱篮球运动，\(18\)人喜爱乒乓球运动，\(20\)人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为______ ．

\((4)\)若对于任意正数\(x{,}y\)，都有\(f({xy}){=}f(x){+}f(y)\)，且\(f(8){=-}3\)，则\(f(a){=}\dfrac{1}{2}\)时，正数\(a{=}\) ______ ．

难度：较难

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5．

设函数\(y=f\left(x\right) \)是定义在\(R\)上的函数，并且满足下面三个条件：\(①\)对任意正数\(x\)，\(y\)，都有\(f\left(xy\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right) \)；\(②\)当\(x > 1 \)时，\(f\left(x\right) < 0 \)；\(③f\left(3\right)=-1 \)．
\((1)\)求\(f\left(1\right) \)，\(f\left( \dfrac{1}{9}\right) \)的值；

\((2)\)证明\(f\left(x\right) \)在\(\left(0,+∞\right) \)上是减函数；

难度：难

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6．

已知函数\(f(x)= \dfrac{a}{x}+x\ln x\)，\(g(x)=x^{3}-x^{2}-5\)，若对任意的\(x_{1}\)，\(x_{2}∈\left[ \left. \dfrac{1}{2},2 \right. \right]\)，都有\(f(x_{1})-g(x_{2})\geqslant 2\)成立，则\(a\)的取值范围是\((\) \()\)

A．\((0,+∞)\)

B．\([1,+∞)\)

C．\((-∞,0)\)

D．\((-∞,-1]\)

难度：较难

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7．

\(f\)\((\)\(x\)\()\)是定义在\(R\)上的偶函数，当\(x\)\( < 0\)时，\(f\)\((\)\(x\)\()+\)\(x\)\(·\)\(f\)\(′(\)\(x\)\() < 0\)，且\(f\)\((-4)=0\)，则不等式\(xf\)\((\)\(x\)\() > 0\)的解集为( )

A．\((-4,0)∪(4,+∞)\)

B．\((-4,0)∪(0,4)\)

C．\((-∞,-4)∪(4,+∞)\)

D．\((-∞,-4)∪(0,4)\)

难度：难

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8．
已知函数\(f(x+1)=\dfrac{f(x)}{1+f(x)}\)，且\(f(1)=1\)，则\(f(10)= \)_________．

难度：易

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9．

已知函数\(f(x)=\begin{cases}{2}^{x},x\geqslant 4 \\ f\left(x+1\right),x < 4\end{cases} \)，则\(f(2+\log _{2}3)\)的值为\((\)　　\()\)

A．\(24\)

B．\(16\)

C．\(12\)

D．\(8\)

难度：中等

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10．
\((1)\)已知扇形的周长是\(4cm\)，面积是\(1cm^{2}\)，则扇形的圆心角的弧度数是________．

\((2)\)圆\(x^{2}+y^{2}-4x=0\)在点\(P(2,2)\)处的切线方程为：________．

\((3)\)在三棱锥\(P—ABC\)中，\(D\)，\(E\)分别是\(PB\)，\(PC\)的中点，记三棱锥\(D—ABE\)的体积为\(V_{1}\)，\(P—ABC\)的体积为\(V_{2}\)，则\(\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\_\_\_\_\_\_\_\_\)．

\((4)\)已知函数\(f(x)\)是\(R\)上的奇函数，且对任意实数\(a\)、\(b\)当\(a+b\neq 0\)时，都有\(\dfrac{f(a)+f(b)}{a+b} > 0.\)如果存在实数\(x∈[1,3]\)，使得不等式\(f(x-c)+f(x-c^{2}) > 0\)成立，则实数\(c\)的取值范围是________．

难度：较难

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