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          共50条信息

            • 1．

              已知函数\(y=f(x)\)满足：对任意\(a\)，\(b∈R\)，\(a\neq b\)，都有\(af(a)+bf(b) > af(b)+bf(a)\)．

              \((1)\)试证明：\(f(x)\)为\(R\)上的单调增函数．

              \((2)\)若\(x\)，\(y\)为正实数且\(\dfrac{4}{x} +\dfrac{9}{y} =4\)，比较\(f(x+y)\)与\(f(6)\)的大小．

              难度：中等
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            • 2．
              已知函数\(f(x)\)的定义域是\((0,+∞)\)，当\(x > 1\)时\(f(x) > 0\)，且\(f(xy)=f(x)+f(y)\)
              \((1)\)求证：\(f( \dfrac {1}{x})=-f(x)\)
              \((2)\)证明：\(f(x)\)在定义域上是增函数
              \((3)\)如果\(f( \dfrac {1}{3})=-1\)，求满足不等式\(f(x)-f( \dfrac {1}{x-2})\geqslant 2\)的\(x\)的取值范围．
              难度：易
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            • 3．

              已知定义在区间\((0,+∞)\)上的函数\(f(x)\)满足\(f\left( \dfrac{x_{1}}{x_{2}} \right)=f(x_{1})-f(x_{2})\)，且当\(x > 1\)时，\(f(x) > 0\)，\(f(3)=1\)．

              \((1)\)判断\(f(x)\)的单调性\(;\)

              \((2)\)解关于\(x\)的不等式\(f(3x+6)+f\left( \dfrac{1}{x} \right) > 2;\)

              \((3)\)若\(f(x)\leqslant m^{2}-2am+1\)对所有\(x∈(0,3]\)，\(a∈[-1,1]\)恒成立，求实数\(m\)的取值范围．

              难度：较易
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            • 4．

              函数\(f(x)\)的定义域为\(D=\{x|x\neq 0\}\)，且满足对于任意\(x_{1}\)，\(x_{2}∈D\)，有\(f(x_{1}·x_{2})=f(x_{1})+f(x_{2}).\)

              \((1)\)求\(f(1)\)的值；

              \((2)\)判断\(f(x)\)的奇偶性并证明你的结论；

              \((3)\)如果\(f(4)=1\)，\(f(x-1) < 2\)，且\(f(x)\)在\((0,+∞)\)上是增函数，求\(x\)的取值范围．

              难度：中等
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            • 5．
              若\(f(x)\)是定义在\((0,+∞)\)上的增函数，且\(f( \dfrac {x}{y})=f(x)-f(y)\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求\(f(1)\)的值；
              \((\)Ⅱ\()\)解不等式：\(f(x-1) < 0\)．
              难度：难
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            • 6．

              已知 \(f(x)\) 是定义在 \((0,+∞)\) 上的单调递增函数\(.\)对于任意的正数 \(m\) ，\(n\) 满足 \(f(m)+f(n)=f(mn)\)；对于 \(0 < a < b\) 满足\(|f(a)|=|f(b)=2|f( \dfrac{a+b}{2})| \)．

              \((1)\)求 \(f(1)\)；

              \((2)\)若 \(f(2)=1\)，解不等式 \(f(x) < 2\)；

              \((3)\)求证：\(3 < b < 2+ \sqrt{2} \)．

              难度：难
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            • 7． 设函数\(y=f(x)\)是定义在\((0,+∞)\)上的单调递减函数，并且同时满足下面两个条件：\(①\)对正数\(x\)，\(y\)都有\(f(xy)=f(x)+f(y)\)；\(②f( \dfrac {1}{2})=1\)．
              \((1)\)求\(f(1)\)和\(f(4)\)的值；
              \((2)\)求满足\(f(3+x)+f(3-x) > -2\)的\(x\)的取值范围．
              难度：中等
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            • 8． 已知函数\(g(x)=ax^{2}-(a+1)x+1\)，\(f(x)\)是定义在\(R\)上的不恒为零的函数，且对于任意的\(x\)，\(y∈R\)都满足：\(f(xy)=xf(y)+yf(x)\)．
              \((1)\)求不等式\(g(x) < 0\)的解集；
              \((2)\)当\(a=1\)时，若 \(f(2)=g(2)+1\)，设\(a_{n}=f(2^{n})(n∈N^{*})\)，求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((3)\)在\((2)\)的基础上，若\(b_{n}= \dfrac {n+2}{n+1}⋅ \dfrac {1}{a_{n}}\)，数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}.\)求证：\(S_{n} < 1\)．
              难度：较易
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            • 9．
              设函数\(y=f(x)\)的定义域为\(R\)，并且满足\(f(x-y)=f(x)-f(y)\)，且\(f(2)=1\)，当\(x > 0\)时，\(f(x) > 0\)．
              \((1)\)求\(f(0)\)的值；
              \((2)\)判断函数\(f(x)\)的单调性，并给出证明；
              \((3)\)如果\(f(x)+f(x+2) < 2\)，求\(x\)的取值范围．
              难度：较易
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            • 10． 设函数\(y=f(x)\)是定义在\((0,+∞)\)上的函数，并且满足下面三个条件：
              \(①\)对任意正数\(x\)，\(y\)，都有\(f(xy)=f(x)+f(y)\)；
              \(②\)当\(x > 1\)时，\(f(x) > 0\)；
              \(③f(3)=1\)，
              \((1)\)求\(f(1)\)，\(f( \dfrac {1}{3})\)的值；
              \((2)\)判断函数\(f(x)\)在区间\((0,+∞)\)上单调性，并用定义给出证明；
              \((3)\)对于定义域内的任意实数\(x\)，\(f(kx)+f(4-x) < 2(k\)为常数，且\(k > 0)\)恒成立，求正实数\(k\)的取值范围．
              难度：中等
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