知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=e^x-x-2（e是自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）的图象在点A（0，-1）处的切线方程；
（2）若k为整数，且当x＞0时，（x-k+1）f′（x）+x+1＞0恒成立，其中f′（x）为f（x）的导函数，求k的最大值．

难度：较难

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2．设函数f（x）=|2x-a|+|2x+1|（a＞0），g（x）=x+2．
（1）当a=1时，求不等式f（x）≤g（x）的解集；
（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

难度：较难

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3．设函数f（x）=x²+alnx+1（x＞0）．
（1）若f（3）=5，求f（
1
3
）的值；
（2）若x＞0时，f（x）≥1成立，求a的取值范围．

难度：较难

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4．已知函数f（x）=lnx，g（x）=e^x，其中e是自然对数的底数，e=2.71828…
（1）若函数φ（x）=f（x）-
x+1
x-1
，求函数φ（x）的单调区间；
（2）若x≥0，g（x）≥kf（x+1）+1恒成立，求实数k的取值范围；
（3）设直线l为函数f（x）的图象上一点，A（x₀，f（x₀））处的切线，证明：在区间（1，+∞）上存在唯一的x₀，使得直线l与曲线y=g（x）相切．

难度：难

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5．已知函数f（x）=x|x-a|+b，x∈R．
（1）当b=0时，判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）当a=1，b=1时，若f（2^x）=
5
4
，求x的值；
（3）若-1≤b＜0，且对任意x∈[0，1]不等式 f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．

难度：中等

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6．已知数列{a_n}与{b_n}满足a_n+1-a_n=2（b_n+1-b_n）（n∈N^*）．
（1）若a₁=1，b_n=3ⁿ+5，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a₁=6，b_n=2ⁿ（n∈N^*）且λa_n＞2ⁿ+n+2λ对一切n∈N^*恒成立，求实数λ的取值范围．

难度：中等

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7．（1）若ax＞lnx恒成立，求实数a的取值范围；
（2）证明：∀a＞0，∃x₀∈R，使得当x＞x₀时，ax＞lnx恒成立．

难度：较难

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8．已知函数f（x）=mx-
m
x
，g（x）=3lnx．
（1）当m=4时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若x∈（1，
e
]（e是自然对数的底数）时，不等式f（x）-g（x）＜3恒成立，求实数m的取值范围．

难度：较难

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9．已知函数f（x）=lnx-kx+1．
（1）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；
（2）证明：
ln2
3
+
ln3
8
+
ln4
15
+…
lnn
n2-1
+（1+
1
n
）ⁿ＜
n2+n+10
4
（n∈N^*且n＞1）．

难度：较难

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10．（Ⅰ）已知函数f（x）=|x+3|，g（x）=m-2|x-11|，若2f（x）≥g（x+4）恒成立，求实数m的取值范围．
（Ⅱ）已知实数x，y，z满足2x²+3y²+6z²=a（a＞0）且x+y+z的最大值是1，求a的值．

难度：较难

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