知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=x²-2ax+5（a＞1）．
（1）若f（x）的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值；
（2）若f（x）在区间（-∞，2]上是减函数，且对任意的x∈[1，2]，都有f（x）≤0，求实数a的取值范围．

难度：较易

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2．已知函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数），x∈R， $F%28x%29%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Coverset%7Bf%28x%29%28x%3E0%29%7D%7B-f%28x%29%28x%3C0%29%7D%5Cend%7Bcases%7D$
（1）若f（-1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；
（2）设n＜0＜m，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，试判断函数值：F（m）+F（n）的正负．

难度：较易

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3．函数f（x）=x²+x-2a，若y=f（x）在区间（-1，1）内有零点，求a的取值范围．

难度：较易

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4．已知函数f（x）=-2x²+ax+b且f（2）=-3．
（1）若函数f（x）的图象关于直线x=1对称，求函数f（x）在区间[-2，3]上的值域；
（2）若函数f（x）在区间[1，+∞）上递减，求实数b的取值范围．

难度：较易

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5．画出函数f（x）=3x+2的图象，判断它的单调性，并加以证明．

难度：中等

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6．已知一次函数f（x）满足2f（2）-3f（1）=5，2f（0）-f（-1）=1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=
f(x)-x2
，求函数g（x）的定义域和值域．

难度：中等

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7．某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，按九折出售，求每件还获利多少元．

难度：中等

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8．已知点A（2，-1）、B（-1，2）在函数f（x）=ax+b的图象上．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断f（x）在R上的单调性并用定义法加以证明．

难度：中等

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9．已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数k，对任意x∈D，等式f(kx)=
k
2
+f(x)恒成立．
（1）试判断一次函数f（x）=ax+b（a≠0）是否属于集合M；
（2）证明f（x）=log₂x属于集合M，并写出一个满足条件的常数k．

难度：较难

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10．
【题文】（本小题满分14分）
已知函数．
（1）求函数的最小值；
（2）证明：对任意恒成立；
（3）对于函数图象上的不同两点，如果在函数图象上存在点（其中）使得点处的切线，则称直线存在“伴侣切线”．特别地，当时，又称直线存在 “中值伴侣切线”．试问：当时，对于函数图象上不同两点、，直线是否存在“中值伴侣切线”？证明你的结论．

难度：较难

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